初等矩阵与初等变换

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1,初等矩阵:对单位矩阵做一次初等变换后所得的矩阵称为初等矩阵。所以有三种初等矩阵:

  • 初等倍乘阵: 将单位矩阵的第 \(i\) 行(或者 \(i\) 列)乘以常数 \(c\) \[I_i(c)=\begin{pmatrix}1&&&&&\\&1&&&&\\&&\ddots&&&\\ &&&c&&\\ &&&&\ddots&\\ &&&&&1\end{pmatrix}\]
  • 初等对换阵: 将单位矩阵的第 \(i\) 行与第 \(j\) 行交换(或者交换\(i\) 列与 \(j\) 列) \[I_{ij}=\begin{pmatrix}1&&&&&&\\ &\ddots&&&&&\\ &&0&\cdots&1&&&\\ &&\vdots&&\vdots&&\\&&1&\cdots&0&&\\ &&&&&\ddots&\\ &&&&&&1\end{pmatrix}\]
  • 初等倍加阵:将单位矩阵的第 \(i\) 行加上 \(j\) 行的 \(j\) 倍, \[I_{ij}(k)=\begin{pmatrix}1&&&&&&\\ &\ddots&&&&&\\ &&1&\cdots&k&&\\ &&\vdots&&\vdots&&\\&&0&\cdots&1&&\\ &&&&&\ddots&\\ &&&&&&&1\end{pmatrix}\]

初等矩阵都是可逆的,这就是

2,定理:初等矩阵都是可逆的,并且 \[I_i^{-1}(c)=I_i(\frac{1}{c}), I_{ij}^{-1}=I_{ij}, I_{ij}^{-1}(k)=I_{ij}(-k)\]

我们可以直接验证这个定理。

初等矩阵的意义在于它与初等变换等价。我们有这样的

3,定理:

  • 左乘一个初等矩阵,相当于对矩阵做一次相应的初等行变换;
  • 右乘一个初等矩阵,相当于对矩阵做一次相应的初等列变换。

直接计算就可以证明这个定理。