分块矩阵及其运算

有时候,对矩阵进行分块,会简化矩阵的计算。

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1,分块矩阵:我们把矩阵可以划分成小矩阵

\[A=\left(\begin{array}{ccc:cc:c}3&0&-1&5&9&-2\\ -5&2&4&0&-3&1\\ \hdashline -8&-6&3&1&7&-4\end{array}\right)=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\ A_{21}&A_{22}&A_{23}\end{pmatrix}\]

这样的的矩阵我们称之为分块矩阵。\(A_{ij}\) 称为矩阵 \(A\) 的子块。分块矩阵并没有把矩阵进行分割,只是对矩阵划分成各个更小的部分,只是为了方便计算或者研究。

分块矩阵的运算与普通的矩阵运算类似。唯有小矩阵块之间的运算也需要满足矩阵的运算法则。

2,分块矩阵的加 (减)法:两个同型矩阵、同样分块的矩阵相加(减)

\[A+B=\begin{pmatrix}A_{11}&\cdots&A_{1k}\\ \vdots&&\vdots\\ A_{l1}&\cdots&A_{lk}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}B_{11}&\cdots&B_{1k}\\ \vdots&&\vdots\\ B_{l1}&\cdots&B_{lk}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A_{11}+B_{11}&\cdots&A_{1k}+B_{1k}\\ \vdots&&\vdots\\ A_{l1}+B_{l1}&\cdots&A_{lk}+B_{lk}\end{pmatrix}\]

3,分块矩阵的数乘:

\[\lambda A=\lambda \begin{pmatrix}A_{11}&\cdots&A_{1k}\\ \vdots&&\vdots\\ A_{l1}&\cdots&A_{lk}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda A_{11}&\cdots&\lambda A_{1k}\\ \vdots&&\vdots\\ \lambda A_{l1}&\cdots&\lambda A_{lk}\end{pmatrix}\]

4,矩阵的乘法:矩阵 \(A\) 与 \(B\) 相乘,除了它们本身能够相乘以外,还需要它们的子块之间也满足相乘的条件。

\[A\cdot B=\begin{pmatrix}A_{11}&\cdots&A_{1k}\\ \vdots&&\vdots\\ A_{l1}&\cdots&A_{lk}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}B_{11}&\cdots&B_{1l}\\ \vdots&&\vdots\\ B_{kl}&\cdots&B_{km}\end{pmatrix}=C\] 这里

\[C=\begin{pmatrix}C_{11}&\cdots&C_{1m}\\ \vdots&&\vdots\\ C_{l1}&\cdots&C_{lm}\end{pmatrix}, \quad C_{ij}=\sum_{s=1}^kA_{is}B_{sj}\]

例1:\(A=\left(\begin{array}{ccc:cc}2&3&1&0&4\\ 1&5&-2&3&-1\\ \hdashline 0&-4&-2&7&-1\end{array}\right)=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\ A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}\),\(B=\begin{pmatrix}6&4\\ -2&1\\-3&7\\ \hdashline -1&3\\ 5&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}B_{11}\\B_{21}\end{pmatrix}\),求 \(AB\)。

解:\(AB=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\ A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}B_{11}\\B_{21}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}\\A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21}\end{pmatrix}\)

我们计算各个子块的乘法,

\[A_{11}B_{11}=\begin{pmatrix}2&3&1\\ 1&5&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6&4\\ -2&1\\-3&7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\3&18\\ 2&-5\end{pmatrix}\]

\[A_{12}B_{21}=\begin{pmatrix}0&4\\ -1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&3\\5&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}20&8\\-8&7\end{pmatrix}\]

\[A_{21}B_{11}=\begin{pmatrix}0&-4&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6&4\\ -2&1\\-3&7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}14&-18\end{pmatrix}\]

\[A_{11}B_{11}=\begin{pmatrix}7&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&3\\5&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-12&19\end{pmatrix}\]

所以 \[AB=\begin{pmatrix}A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}\\A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}23&26\\ 6&2\\2&1\end{pmatrix}\]

5,分块矩阵的转置:\(A=\begin{pmatrix}A_{11}&\cdots&A_{1k}\\ \vdots&&\vdots\\ A_{l1}&\cdots&A_{lk}\end{pmatrix}\),则 \(A^T=\begin{pmatrix}A_{11}^T&\cdots&A_{l1}^T\\ \vdots&&\vdots\\ A_{1k}^T&\cdots&A_{lk}^T\end{pmatrix}\)

6,逆矩阵:我们可以直接利用逆矩阵的定义来求逆矩阵,也可以利用分块矩阵的初等变换来求逆矩阵。初等变换的方法我们留到下一次课来讲,这里我们看一下如何直接求逆矩阵。

例2:设 \(A=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\ 0&A_{22}\end{pmatrix}\),若 \(A\) 可逆,求 \(A^{-1}\)。

解:若 \(A\) 可逆,则

\[|A|=\begin{vmatrix}A_{11}&A_{12}\\ 0&A_{22}\end{vmatrix}=|A_{11}||A_{22}|\ne 0\]

所以 \(A_{11}, A_{22}\) 可逆。我们设 \(B=\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}\\ B_{21}&B_{22}\end{pmatrix}=A^{-1}\) ,则

\begin{align*}AB&=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\ 0&A_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}\\ B_{21}&B_{22}\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}&A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}\\ A_{22}B_{21}&A_{22}B_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}I&0\\ 0&I\end{pmatrix}\end{align*}

所以我们得到四个方程的方程组:

\begin{cases}A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}=I\\ A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}=0\\ A_{22}B_{21}\\ A_{22}B_{22}=I\end{cases}

因为 \(A_{11},A_{22}\) 都可逆,所以从第三、第四个方程我们得到 \[B_{21}=0, B_{22}=A_{22}^{-1}\]

代入第一式,我们得到

\[B_{11}=A_{11}^{-1}\]

再把 \(B_{21}=0, B_{22}=A_{22}^{-1},B_{11}=A_{11}^{-1}\) 代入第二式,我们得到

\[B{12}=-A_{11}^{-1}A_{12}A_{22}^{-1}\]

所以我们得到

\[A^{-1}=\begin{pmatrix}A_{11}^{-1}&-A_{11}^{-1}A_{12}A_{22}^{-1}\\ 0&A_{22}^{-1}\end{pmatrix}\]