分块初等阵与分块矩阵的初等变换

跟普通的矩阵一样,分块矩阵有初等分块阵和初等变换的概念。

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1,分块初等阵:我们只对二阶的分块矩阵作讨论,更高阶的可以类似进行。我们将单位矩阵分块为 \(I=\begin{pmatrix}I_m&0\\0&I_n\end{pmatrix}\)

(1)分块对换阵 \(\begin{pmatrix}0&I_n\\ I_m&0\end{pmatrix}\) 或者 \(\begin{pmatrix}0&I_m\\ I_n&0\end{pmatrix}\);

(2)分块倍乘阵 \(\begin{pmatrix}C_m&0&I_n\end{pmatrix}\) 或者 \(\begin{pmatrix}I_m\\ C_n&0\end{pmatrix}\),这里 \(C_m, C_n\) 都可逆;

(3)分块倍加阵:\(\begin{pmatrix}I_m&0\\ C_3&I_n\end{pmatrix}\) 或者 \(\begin{pmatrix}I_m&C_4\\ &I_n\end{pmatrix}\)。

2,性质:分块初等阵都是可逆的。 我们可以从 \(|AB|=|A||B|\) 的证明中得到这个结论。

3,初等变换:左乘或者右乘一个分块初等阵相当于对矩阵作一次初等变换(相对于块来说)。

注意,分块初等阵有些只能应用于行,有些只能应用于列。例如 \(\begin{pmatrix}0&I_n\\ I_m&0\end{pmatrix}\) 是对换两行,只能应用于行,而 \(\begin{pmatrix}0&I_m\\ I_n&0\end{pmatrix}\) 是对换两列,只能应用于列。如果我们不特别指定子块的阶,那么就没有区别。

我们应用分块矩阵的初等变换来证明这一个命题。

例:设 \(A,B,C,D\) 都是 \(n\) 阶矩阵, \(|A|\ne 0\), \(AC=CA\),证明 \(\begin{vmatrix}A&B\\C&D\end{vmatrix}=|AD-BC|\)。

解:将矩阵 \(\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}\) 第一行左乘 \(-CA^{-1}\) 加到第二行

\[\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}A&B\\0&-CA^{-1}B+D\end{pmatrix}\]

这相当于对矩阵 \(\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}\) 左乘初等矩阵 \(\begin{pmatrix}I_n&0\\-CA^{-1}&I_n\end{pmatrix}\),即

\[\begin{vmatrix}I_n&0\\-CA^{-1}&I_n\end{vmatrix}\begin{vmatrix}A&B\\C&D\end{vmatrix}=\begin{pmatrix}A&B\\0&-CA^{-1}B+D\end{pmatrix}\]

矩阵\(\begin{pmatrix}I_n&0\\-CA^{-1}&I_n\end{pmatrix}\) 的行列式为 \(1\),所以没有改变原行列式的值。现在

\[\begin{vmatrix}A&B\\C&D\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A&B\\0&-CA^{-1}B+D\end{vmatrix}=|A||-CA^{-1}B+D|\]

由矩阵相乘的行列式 \(|AB|=|A||B|\),我们得到

\begin{align*}|A||-CA^{-1}B+D|&=|-ACA^{-1}B+AD|\\ &=|-CAA^{-1}B+AD|\\ &=|-CB+AD|\end{align*}

这就证明我们所要的结论。这里我们用到了条件 \(AC=CA\)。