正交矩阵与正交变换

不是每一个方阵都能对角化。但是有一种矩阵,实对称矩阵,一定可以对角化。实对称矩阵的对角化可以通过正交矩阵实现。正交矩阵对应一种向量的线性变换,这种变换叫做正交变换。

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1,正交矩阵:若 \(A^TA=I\),则我们称 \(A\) 为正交矩阵。

从这个定义,我们可以直接得到这样的结论:

2,定理1:若 \(A\) 是正交矩阵,则

  • \(|A|=1\) 或者 \(-1\);
  • \(A^{-1}=A^T\);
  • 若 \(A,B\) 都是正交矩阵,则 \(AB\) 也是正交矩阵。

证明:(1)\(|A^TA|=|I| \quad \Rightarrow\quad |A^T||A|=|A|^2=1\),所以 \(|A|=1\) 或者 \(-1\);

(2)由逆矩阵的定义可得 \(A^{-1}=A^T\);

(3)设\(A,B\) 都是正交矩阵,由转置矩阵的性质 \((AB)^TAB=B^TA^TAB=B^TIB=B^TB=I\)。所以 \(AB\) 也是正交矩阵。

例1:我们可以验证

\[\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt2}&\frac{1}{\sqrt2}\\ -\frac{1}{\sqrt2}&\frac{1}{\sqrt2}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt2}&\frac{1}{\sqrt2}&0\\ -\frac{1}{\sqrt3}&-\frac{1}{\sqrt3}&\frac{1}{\sqrt3}\\ \frac{1}{\sqrt6}&\frac{1}{\sqrt6}&\frac{2}{\sqrt6}\end{pmatrix}\]都是正交矩阵。

3,定理2:正交矩阵的行向量组,列向量组都是规范正交组。

证明: 设 \(A\) 是正交矩阵。我们记 \(A=(\vec{a}_1\quad \vec{a}_2\quad\cdots \quad\vec{a}_n\),由正交矩阵的定义

\[A^TA=\begin{pmatrix}\vec{a}_1^T\\ \vec{a}_2^T\\\vdots \vec{a}_n\end{pmatrix}(\vec{a}_1\quad \vec{a}_2\quad\cdots \quad\vec{a}_n)=\begin{pmatrix}1&&\\ &\ddots&\\ &&1\end{pmatrix}\]

也就是 \(\vec{a}_i^T\vec{a}_j=\begin{cases}1,\quad i=j\\ 0,& i\ne j\end{cases}。所以\(\vec{a}_i, 1\le i\le n\) 是规范正交组。

我们将上面的证明过程换成 \(AA^T=I\),就得到 \(A\) 的行向量组也是规范正交组。

我们现在可以定义正交变换了。

4,若 \(A\) 是正交矩阵,则 \(\vec{y}=A\vec{x}\) 称为正交变换。

正交变换的一个重要的性质就是不改变向量的长度。

5,定理3:正交变换不改变向量的长度,即 \(\|\vec{y}\|=\|\vec{x}\|\)。

证明: \begin{align*}\|\vec{y}\|^2&=(A\vec{x})\cdot(A\vec{x})=(A\vec{x})^T(A\vec{x})\\ &=\vec{x}^TA^TA\vec{x}=\vec{x}^T\vec{x}\\ &=\|\vec{x}\|^2\end{align*}