将一个线性无关的向量组化成正交组或者规范正交组,很多时候是必要的,正交向量组或者规范正交组在理论上特别简单,使用正交组或者规范正交组进行计算也相当简便。这一节我们讲述如何将一个线性无关的向量组正交化或者规范化。
笔记下载:施密特正交化方法
施密特正交化方法的基本作法是,将一个向量在另一个向量上投影减去,只保留垂直部分,依次做完所有向量,就得到一个正交向量组,然后将所有向量单位化,就得到了一个规范正交组。
1,投影:向量 到向量
的投影
为:
这里我们用到了夹角的余弦公式
我们从前面的图形可以看出,向量减去在另一个向量方向的投影,剩下的部分是与另一个向量垂直的部分。这就是施密特正交化方法的基本思想。
2,施密特正交化方法:设 线性无关。我们可以通过下述过程将它们化成正交向量组与规范正交组:
这样我们就得到一个正交组 。再将它们规范化
,就得到了规范正交组
。
我们看一个例题。
例1,设 ,证明
线性无关,并求与
等价的正交向量组。
解:(1)
,所以
线性无关。
(2)正交化:
,
,所以
,
,
,所以
所以我们得到正交组 ,它们与
是等价的正交向量组。