施密特正交化方法

将一个线性无关的向量组化成正交组或者规范正交组,很多时候是必要的,正交向量组或者规范正交组在理论上特别简单,使用正交组或者规范正交组进行计算也相当简便。这一节我们讲述如何将一个线性无关的向量组正交化或者规范化。

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施密特正交化方法的基本作法是,将一个向量在另一个向量上投影减去,只保留垂直部分,依次做完所有向量,就得到一个正交向量组,然后将所有向量单位化,就得到了一个规范正交组。

1,投影:向量 \vec{b} 到向量 \vec{a} 的投影 \text{Prod}_{\vec{a}}\vec{b} 为:

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    \[\text{Prod}_{\vec{a}}\vec{b}=|\vec{b}|\cos \theta\cdot\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|^2}\vec{a}\]

这里我们用到了夹角的余弦公式 \cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}

我们从前面的图形可以看出,向量减去在另一个向量方向的投影,剩下的部分是与另一个向量垂直的部分。这就是施密特正交化方法的基本思想。

2,施密特正交化方法:设 \vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_n 线性无关。我们可以通过下述过程将它们化成正交向量组与规范正交组:

    \[\begin{array}{l}\vec{b}_1=\vec{v}_1\\ \displaystyle\vec{b_2}=\vec{v}_2-\frac{\vec{v}_2\cdot\vec{b}_1}{\|\vec{b}_1\|^2}\vec{b}_1\\ \displaystyle\vec{b_3}=\vec{v}_3-\frac{\vec{v}_3\cdot\vec{b}_1}{\|\vec{b}_1\|^2}\vec{b}_1-\frac{\vec{v}_3\cdot\vec{b}_2}{\|\vec{b}_2\|^2}\vec{b}_2\\ \vdots\\ \displaystyle\vec{b}_n=\vec{v}_n-\sum_{i=1}^{n-1}\frac{\vec{v}_n\cdot\vec{b}_i}{\|\vec{b}_i\|^2}\vec{b}_i\end{array}\]

这样我们就得到一个正交组 \vec{b}_1,\vec{b}_2,\cdots, \vec{b}_n。再将它们规范化 \displaystyle\vec{e}_i=\frac{\vec{b_i}}{\|\vec{b}_i\|}, 1\le i\le n,就得到了规范正交组 \vec{e}_1,\vec{e}_2,\cdots, \vec{e}_n

我们看一个例题。

例1,设 \vec{a}_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix},\vec{a}_2=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\vec{a}_3=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix},证明 \vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3 线性无关,并求与 \vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3 等价的正交向量组。

解:(1)

    \[(A=(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3)=\begin{pmatrix}1&1&1\\ -1&0&-1\\ 0&1&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&1&1\\ 0&1&0\\ 0&1&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&1&1\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}\]

R(A)=3,所以 \vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3 线性无关。

(2)正交化:

    \[\vec{b}_1=\vec{a}_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\]

\vec{a}_2\cdot\vec{b}_1=1\cdot1+0\cdot(-1)+1\cdot 0=1\|\vec{b}_1\|^2=1+1=2,所以

    \[\vec{b_2}&=\vec{a}_2-\frac{\vec{v}_2\cdot\vec{b}_1}{\|\vec{b}_1\|^2}\vec{b}_1=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}\\ 1\end{pmatrix}\]

\vec{a}_3\cdot\vec{b}_1=1+1=2\vec{a}_3\cdot\vec{b}_2=1\cdot \frac{1}{2}+(-1)\cdot\frac{1}{2}+1\cdot1=2\|\vec{b}_2\|^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2+1=\frac{3}{2},所以

    \[\vec{b_3}=\vec{a}_3-\frac{\vec{v}_3\cdot\vec{b}_1}{\|\vec{b}_1\|^2}\vec{b}_1-\frac{\vec{v}_3\cdot\vec{b}_2}{\|\vec{b}_2\|^2}\vec{b}_2=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}-\frac{1}{\frac{3}{2}}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\  \frac{1}{2}\\ 1\end{pmatrix}-\frac{2}{2}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}\\ -\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}\end{pmatrix}\]

所以我们得到正交组 \vec{b}_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix},\vec{b}_2=\begin{pmatrix}\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}\\ 1\end{pmatrix}, \vec{b}_3=\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}\\ -\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}\end{pmatrix},它们与 \vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3 是等价的正交向量组。