实对称矩阵的特征值与特征向量

我们在上一节提到过,实对称矩阵一定可以对角化。这一节,我们先了解实对称矩阵的特征值与特征向量的一些性质。实对称矩阵的对角化问题,我们下一节解决。

笔记下载:实对称矩阵的特征值与特征向量

要了解实对称矩阵的性质,我们需要了解一下复矩阵的相关概念。

1,复矩阵:若矩阵 \(A=(a_{ij})_{m\times n}\) 的元素 \(a_{ij}\) 是复数,我们称矩阵 \(A\) 是复矩阵。

我们对复矩阵的所有元素都取共轭数,就是复矩阵的共轭矩阵。记为 \(\bar{A}=(\bar{a}_{ij})\)。

2,实对称矩阵:若 \(\bar{A}^T=A\),称 \(A\) 为实对称矩阵。\(\bar{A}^T\) 称为 \(A\) 的共轭转置矩阵。

我们需要下列的结论来研究实对称矩阵的性质。

3,共轭矩阵的性质:

  • \(\overline{kA}=\bar{k}\bar{A}\);
  • \(\overline{(A+B)}=\bar{A}+\bar{B}\);
  • \(\overline{AB}=\bar{A}\bar{B}\);
  • \((\overline{AB})^T=(\bar{A})^T(\bar{B})^T\);
  • 若 \(A\) 可逆, \(\overline{A^{-1}}=(\bar{A})^{-1}\)。

这些性质可以利用共轭数的性质就可以证明。

对复向量来说,它们之间的内积要稍做修改。

4,复向量的内积:\(\vec{y}\cdot\vec{x}=\overline{\vec{y}}\vec{x}=\bar{y}_1x_1+\cdots+\bar{y}_nx_n\)。

现在我们可以证明实对称矩阵的特征值与特征向量的性质。

5,定理1:实对称矩阵的特征值都是实数。

证明:设 \(\lambda\) 是 \(A\) 的特征值,对应的特征向量为 \(\vec{x}\),即 \(A\vec{x}=\lambda \vec{x}\),两边取共轭,

\[A\vec{x}=\lambda \vec{x}\quad\Rightarrow \quad \overline{A\vec{x}}=\overline{\lambda \vec{x}}\quad\Rightarrow\quad \bar{A}\overline{\vec{x}}=\bar{\lambda}\overline{\vec{x}}\]

两边转置,再右乘 \(\vec{x}\),注意 \(\bar{A}^T=A\),我们有

\[\bar{A}\bar{\vec{x}}=\bar{\lambda}\bar{\vec{x}} \quad\Rightarrow \bar{\vec{x}}^T\bar{A}^T=\bar{\lambda}\bar{\vec{x}}^T\quad\Rightarrow\quad \bar{\vec{x}}^T\bar{A}^T\vec{x}=\bar{\lambda}\bar{\vec{x}}^T\vec{x}\quad\Rightarrow\quad \bar{\vec{x}}^TA\vec{x}=\bar{\lambda}\bar{\vec{x}}^T\vec{x}\]

因为 \(A\vec{x}=\lambda \vec{x}\),

\[\bar{\vec{x}}^TA\vec{x}=\bar{\lambda}\bar{\vec{x}}^T\vec{x}\quad\Rightarrow\quad \bar{\vec{x}}^T\lambda\vec{x}=\bar{\lambda}\bar{\vec{x}}^T\vec{x}\quad\Rightarrow\quad \lambda \|\vec{x}\|^2=\bar{\lambda}\|\vec{x}\|^2 \]

所以我们得到 \(\lambda=\bar{\lambda}\),即 \(\lambda\) 是实数。证毕。

现在我们来看特征向量的特征。

5,定理2:实对称矩阵 \(A\) 的对应于不同的特征值的特征向量是正交的。

证明:设 \(A\vec{x}_1=\lambda_1\vec{x}, A\vec{x}_2=\lambda_2\vec{x}, \lambda_1\ne \lambda_2\),则

\begin{align*}\lambda_1(\vec{x_2}\cdot\vec{x}_1)&=\lambda_1\vec{x}_2^T\vec{x}_1= \vec{x}_2^T\lambda_1\vec{x}_1=\vec{x}_2^TA\vec{x}_1\\ &=\vec{x}_2^TA^T\vec{x}_1= (A\vec{x}_2)^T\vec{x}_1=(\lambda_2\vec{x}_2)^T\\ &=\lambda_2\vec{x}_2^T\vec{x}_1=\lambda \vec{x}_2\cdot\vec{x}_1\end{align*}

也就是 \(\lambda_1(\vec{x_2}\cdot\vec{x}_1)=\lambda_2(\vec{x_2}\cdot\vec{x}_1)\)。所以我们得到了 \((\lambda_1-\lambda_2)(\vec{x_2}\cdot\vec{x}_1)=0\)由定理的假设 \(\lambda_1\ne \lambda_2\),我们只能得到

\[\vec{x_2}\cdot\vec{x}_1=0\quad\Rightarrow\quad \vec{x}_1\bot\vec{x}_2\]

证毕!