实对称矩阵的对角化

实对称矩阵的对角化,我们一般是找一个正交矩阵 \(Q\),使得 \(Q^{-1}AQ=D\),所以比普通的矩阵对角化多一个步骤:施密特正交化步骤。

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我们先叙述实对称矩阵对角化的结论。

1,定理: \(A\) 是实对称矩阵,则一定存在一个正交矩阵 \(Q\),使得 \(Q^{-1}AQ=D\) 或者 \(Q^TAQ=D\)。

这个定理我们这里不证明了。

2,实对称矩阵对角化的步骤:

  • 求特征值;
  • 求特征向量;
  • 将同一个特征值所对应的不同特征向量正交化(施密特正交化方法);
  • 将所有正交特征向量规范化
  • 得到 \(Q\) 与 \(D\)。

我们来看例题。

例1:设 \(A=\begin{pmatrix}4&2&2\\2&4&2\\2&2&4\end{pmatrix}\),求正交矩阵 \(Q\),使得 \(Q^{-1}AQ=D\)。

解:(1)先求特征值。

\begin{align*}|A-\lambda I|&=\begin{vmatrix}4-\lambda&2&2\\2&4-\lambda&2\\2&2&4-\lambda\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}8-\lambda&8-\lambda&8-\lambda\\2&4-\lambda&2\\2&2&4-\lambda\end{vmatrix}\\ &=(8-\lambda)\begin{vmatrix}1&1&1\\2&4-\lambda&2\\2&2&4-\lambda\end{vmatrix}=(8-\lambda)\begin{vmatrix}1&1&1\\0&2-\lambda&2\\0&0&2-\lambda\end{vmatrix}\\ &=(8-\lambda)(2-\lambda)^2=0\end{align*}我们得到特征值 \( \lambda_1=8,\lambda_{2,3}=2\)。

(2)再来求特征向量。

当 \(\lambda=8\) 时,

\begin{align*}A-\lambda I&=\begin{pmatrix}-4&2&2\\2&-4&2\\2&2&-4\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}-4&2&2\\2&-4&2\\0&0&0\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}2&-4&2\\-4&2&2\\0&0&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}2&-4&2\\0&-6&6\\0&0&0\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}2&-4&2\\0&1&-1\\0&0&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&-1\\0&0&0\end{pmatrix}\end{align*}

特征向量为 \(\vec{x}_1=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\).

当 \(\lambda=2\) 时,

\begin{align*}A-\lambda I&=\begin{pmatrix}2&2&2\\2&2&2\\2&2&2\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&1&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\end{align*}

特征向量为 \(\vec{x}_2=\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}, \vec{x}_3=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\)。

(3)将 \(\vec{x}_1,\vec{x}_2, \vec{x}_3\) 规范正交化。 令\(\vec{b}_1=\vec{x}_1, \|\vec{b}_1\|=\sqrt3\),因为 \(\vec{x}_1\) 与 \(\vec{x}_2,\vec{x}_3\) 正交,我们只需要对它规范化就可以了。 \[\vec{e}_1=\frac{\vec{b}_1}{\|\vec{b}_1\|}=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt3}\\ \frac{1}{\sqrt3}\\ \frac{1}{\sqrt3}\end{pmatrix}\]

我们对 \(\vec{x}_2, \vec{x}_3\) 规范正交化。 令 \(\vec{b_2}=\vec{x}_2, \|\vec{b}_2\|=\sqrt2\),单位化可得

\[\vec{e}_2=\frac{\vec{b}_2}{\|\vec{b}_2\|}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{\sqrt2}\\ \frac{1}{\sqrt2}\\ 0\end{pmatrix}\]

\(\vec{x}_3\cdot\vec{b}_2=1, \|\vec{b}_2\|^2=2\),所以

\[\vec{b_3}=\vec{x}_3-\frac{\vec{x}_3\cdot\vec{b}_2}{\|\vec{b}_2\|^2}\vec{b}_2=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\\1\end{pmatrix}\]

\(\|\vec{b}_3\|=\sqrt{\frac{3}{2}}\),将 \(\vec{b}_3\) 单位化。

\[\vec{e}^3=\frac{\vec{b}_3}{\|\vec{b}_3\|}=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt6}\\ -\frac{2}{\sqrt6}\\\frac{1}{\sqrt6}\end{pmatrix}\]

(4)对角化:我们令

\[Q=(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3)=\begin{pmatrix}-\frac{1}{\sqrt2}&\frac{1}{\sqrt3}&\frac{1}{\sqrt2}\\ \frac{1}{\sqrt2}&\frac{1}{\sqrt3}&-\frac{2}{\sqrt6}\\ 0&\frac{1}{\sqrt3}&\frac{1}{\sqrt6}\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}8&&\\ &2&\\ &&2\end{pmatrix}\]

则 \(Q^{-1}AQ=D\)。