向量的内积、长度与正交性

跟几何中一样,我们可以定义向量的内积、长度与正交性。在几何中,向量是既有大小,又有方向的量。在坐标系中,向量可以用它的坐标来表示。坐标表示下的向量与线性代数中的向量形式上的一样的。只是在线性代数里,通常将向量表示成列向量的形式。

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我们有两个向量 \(\vec{a}=\begin{pmatrix}a_1\\ \vdots\\a_n\end{pmatrix},\vec{b}=\begin{pmatrix}b_1\\ \vdots\\b_n\end{pmatrix}\),我们定义它们的内积为

1,内积:\(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\),用矩阵的乘法来表示 \(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}^T\vec{b}\)。

由内积的定义,我们可以直接得到内积的性质:

  • \(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\);
  • \(\lambda(\vec{a})\cdot\vec{b}=\lambda(\vec{a}\cdot\vec{b})\);
  • \((\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}\)。

2,长度:我们定义向量的长度为 \(\|\vec{a}\|=(\vec{a}\cdot\vec{a})^{\frac{1}{2}}\),向量的长度也称为向量的模。

关于向量的内积与长度,我们有下述的

3,(柯西-施瓦兹不等式):\[|\vec{a}\cdot\vec{b}|\le |\vec{a}||\vec{b}|\]

我们利用一元二次方程的有解无解的判别式来证明这个不等式。

证明:\begin{align*}&(\vec{a}+t\vec{b})\cdot(\vec{a}+t\vec{b})=\|\vec{a}+t\vec{b}\|^2\ge 0\\ & \Rightarrow\quad\vec{a}\cdot\vec{a}+2t\vec{a}\cdot\vec{b}+t^2\vec{b}\cdot\vec{b}\ge 0\\ &\Rightarrow\quad \|\vec{a}\|^2+2t\vec{a}\cdot\vec{b}+t^2\|\vec{b}\|^2\ge 0\\ &\Rightarrow\quad 4t^2(\vec{a}\cdot\vec{b})^2-4\|\vec{a}\|^2\|\vec{b}\|^2\le 0\end{align*} 取 \(t=1\),则上式成为 \[|\vec{a}\cdot\vec{b}|\le \|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\]

几何上,我们定义两个向量的内积为 \(\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta\),\(\theta\) 为两个向量不超过 \(\pi\) 的夹角。这里我们将夹角的定义推广到 \(n\) 维向量。

4,两向量的夹角余弦:\[\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}\]

有了夹角的定义,我们就可以定义两个向量相互正交(垂直)的条件:

5,正交的向量:

\[\vec{a}\bot\vec{b}\quad\Leftrightarrow\quad \vec{a}\cdot\vec{b}\]

6,正交向量组: \((\vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_n)\) 两两正交, 我们称这个向量组为正交向量组。

7,规范正交组:\((\vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_n)\) 两两正交, 并且 \(\|\vec{v}_i\|=1, 1\le i\le n\), 我们称这个向量组为正交向量组。

例1:\(\mathbb{R}^3\) 中, \(\vec{e}_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, \vec{e}_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\vec{e}_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\) 为规范正交组。这样的正交组的我们称为 \(\mathbb{R}^3\) 的标准正交基或者规范正交基。

\(\vec{v}_1=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}\\ 0\end{pmatrix}, \vec{v}_2=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{6}}\\\frac{1}{\sqrt{6}}\\ \frac{2}{\sqrt{6}}\end{pmatrix},\vec{v}_3=\begin{pmatrix}-\frac{1}{\sqrt{3}}\\-\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}\end{pmatrix}\) 也是 \(\mathbb{R}^3\) 的规范正交组。

我们可以通过解方程组的方式来求一个正交组。

例2:设 \(\vec{a}_1\begin{pmatrix}\end{pmatrix},\vec{a}_1\begin{pmatrix}\end{pmatrix}\),求 \(\vec{a}_3\),使得 \(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\) 为一正交组。

解:因为 \(\vec{a}_1\cdot\vec{a}_2=1-2+1=0\),所以 \(\vec{a}_1,\vec{a}_2\) 正交。所以我们只要求一个向量,与这两个向量正交就行。

因为 \(\vec{a}_1\cdot\vec{a}_3=\vec{a}_1^T\vec{a}_3=0, \vec{a}_2\cdot\vec{a}_3=\vec{a}_2^T\vec{a}_3=0\),可以用一个线性方程组表示:

\[(\vec{a}_1^T, \vec{a}_2^T)\vec{a}_3=0\]解这个线性方程组,对矩阵 \((\vec{a}_1^T, \vec{a}_2^T)\) 做初等变换

\[(\vec{a}_1^T, \vec{a}_2^T)=\begin{pmatrix}1&1&1\\ 1&-2&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&1&1\\ 0&-3&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&1\\ 0&1&0\end{pmatrix}\]

所以方程的解为 \(\vec{a}_3=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\),\(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\) 为一正交组。