线性相关与线性无关

向量组之间的关系,最重要的概念就是向量组的线性相关性。它是确定线性空间定义的基础。

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1,线性相关与线性无关:若等式 \(k_1\vec{a}_1+k_2\vec{a}_2+\cdots+k_n\vec{a}_n=0\),

  • 只有当 \(k_1=k_2=\cdots=k_n=0\) 时才成立,则称\(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_n\) 线性无关;
  • 若至少存在一个 \(k_i\ne 0\) 使得上式成立,则称 \(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_n\) 线性相关;

例:(1)\(\vec{a}_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\vec{a}_2=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\) 线性无关,因为 \(k_1\vec{a}_1+k_2\vec{a}_2=\begin{pmatrix}k_1\\k_2\end{pmatrix}=0\),只能 \(k_1=k_2=0\),所以 \(\vec{a}_1,\vec{a}_2\) 线性无关。

(2)\(\vec{a}_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\vec{a}_2=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix},\vec{a}_3=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\) 线性相关,因为 \(\vec{a}_1+\vec{a}_2-\vec{a}_3=0\),所以 \(k_1=1,k_2=1, k_3=-1\) 都不为 \(0\)(至少一个不为 \(0\))。

2,线性相关和线性无关的等价定义:利用矩阵乘法的公式 \(k_1\vec{a}_1+k_2\vec{a}_2+\cdots+k_n\vec{a}_n=0\) 可以写成

\[\begin{pmatrix}\vec{a}_1, \cdots, \vec{a}_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}k_1\\ \vdots\\ k_n\end{pmatrix}=0\quad \Rightarrow \quad A\vec{x}=0\]

其中 \(A=\begin{pmatrix}\vec{a}_1, \cdots, \vec{a}_n\end{pmatrix}, \vec{x}=\begin{pmatrix}k_1\\ \vdots\\ k_n\end{pmatrix}\),则由线性方程组解的理论,我们有

  • \(A\vec{x}=0\) 只有零解(平凡解)\(\quad\Rightarrow\quad \vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_n\) 线性无关;
  • \(A\vec{x}=0\) 有非零解\(\quad\Rightarrow\quad \vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_n\) 线性相关。

再由线性方程组解的存在性与矩阵的秩的关系,我们有如下的

3,定理:设 \(A=\begin{pmatrix}\vec{a}_1, \cdots, \vec{a}_n\end{pmatrix}\),则

  • \(R(A)=n\) \(\quad\Rightarrow\quad \vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_n\) 线性无关;
  • \(R(A)《n\) \(\quad\Rightarrow\quad \vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_n\) 线性相关。

例1,设 \(\vec{a}_1=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \vec{a}_2=\begin{pmatrix}0\\2\\5\end{pmatrix}, \vec{a}_3=\begin{pmatrix}2&4&7\end{pmatrix}\), 问 \(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\) 是线性相关还是线性无关?

解:记 \(A=(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3)=\begin{pmatrix}1&0&2\\ 1&2&4\\ 1&5&7\end{pmatrix}\),则

\[A=\begin{pmatrix}1&0&2\\ 1&2&4\\ 1&5&7\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&2\\ 0&2&2\\ 0&5&5\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&2\\ 0&1&1\\ 0&0&0\end{pmatrix}\]

\(R(A)=2<3\),所以向量组线性相关。

例2:\(\vec{a}_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}, \vec{a}_2=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}, \vec{a}_3=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}\), 问 \(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\) 是线性相关还是线性无关?

解:\begin{align*}A&=(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3)=\begin{pmatrix}1&1&1\\ -1&2&0\\ 0&0&3\end{pmatrix}\\ \sim \begin{pmatrix}1&1&1\\ 0&3&1\\ 0&0&3\end{pmatrix}\end{align*}

\(R(A)=3\),所以向量组线性无关。

4,注意:若\(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_n\) 是行向量组,则 \[A=(\vec{a}_1^T,\vec{a}_2^T,\cdots,\vec{a}_n^T)\]

若已知某个向量组的线性相关性,我们有如下的定理。

5,定理:

  • 若 \(m>n\),则任意 \(m\) 个 \(n\) 维向量组一定线性相关;
  • 若 \(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_n\) 线性相关,则 \(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_n,\vec{a}_{n+1}\) 也线性相关;
  • 若 \(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_n\) 线性无关,则 \(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_n,\vec{a}_{n-1}\) 也线性无关;
  • 若 \(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_n\) 线性无关,而 \(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_n,\vec{a}_{n},\vec{b}\) 线性相关,则 \(\vec{b}\) 必可由 \(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_n\) 线性表示。

我们只证明第一个结论,其余的直接由线性相关或线性无关的定义得到。

证明:若 \(A=(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_n,\vec{a}_{m)\),则 \(R(A)\le n<m\) 从而 \(A\vec{x}=0\) 有非零解,所以向量组线性相关。