线性方程组解的结构

这一节我们讲述齐次线性方程组与非齐次线性方程组解的结构。由之前线性方程组的理论,我们知道齐次方程组有非零解的条件以及非齐次方程组有解无解的判定。我们将它们叙述如下:

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1,\(A\vec{x}=0\) 有非零解 \(\quad\Rightarrow\quad R(A)<n\); \(A\vec{x}=0\) 只有零解 \(\quad\Rightarrow\quad R(A)=n\);

\(A\vec{x}=\vec{b}\) 无解 \(\quad\Rightarrow\quad R(A)<R(A,\vec{b})\); \(A\vec{x}=0\) 有唯一解 \(\quad\Rightarrow\quad R(A)=R(A,\vec{b})=n\);\(A\vec{x}=0\) 有无穷多解 \(\quad\Rightarrow\quad R(A)=R(A,\vec{b})<n\)。

2,齐次方程组 \(A\vec{x}=0\) 解的性质。

定理:若 \(\vec{x}_1, \vec{x}_2\) 都是 \(A\vec{x}=0\) 的解,则 \(\vec{x}_1+\vec{x}_2\) 也是 \(A\vec{x}=0\) 的解。

证明:\(A(\vec{x}_1,+\vec{x}_2)=A\vec{x}_1+A\vec{x}_2=0+0=0\)

3,齐次方程组的基础解系:\(A\vec{x}=0\) 的解向量组的一个极大无关组。

4,基础解系的求法:我们利用下面的定理求基础解系。

定理1:设 \(A\) 是 \(m\times n\) 矩阵,\(R(A)=r<n\),则齐次方程组 \(A\vec{x}=0\) 存在基础解系,且含有 \(n-r\) 个解向量。

证明:我们可以直接计算基础解系。\(R(A)=r<n\),则矩阵 \(A\) 的行最简矩阵为

\[A\sim \begin{pmatrix}1&0&\cdots&0&b_{1,r+1}&\cdots& b_{1n}\\ 0&1&\cdots&0&b_{2,r+1}&\cdots&b_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&\cdots&1&b_{r,r+1}&\cdots&b_{rn}\\ 0&0&\cdots&0&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&\cdots&0&0&\cdots&0\end{pmatrix}\]

它所对应的方程组为

\begin{cases}x_1+b_{1,r+1}x_{r+1}+\cdots b_{1n}x_n&=0\\ \vdots \qquad\qquad &\vdots\\x_r+b_{r,r+1}x_{r+1}+\cdots b_{rn}x_n&=0\end{cases}

我们以 \(x_{r+1}, \cdots, x_n\) 为自由元,上面的方程组的通解为

\begin{cases}x_1=-b_{1,r+1}x_{r+1}-\cdots -b_{1n}x_n\\ \vdots\qquad\qquad \vdots \\x_r=-b_{r,r+1}x_{r+1}-\cdots -b_{rn}x_n\\ x_{r+1}=x_{r+1}\\ \vdots\qquad\qquad\vdots\\ x_n=x_n\end{cases}

写成向量的形式

\[\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots\\x_r\\x_{r+1}\\ \vdots\\x_n\end{pmatrix}=x_{r+1}\begin{pmatrix}-b_{1,r+1}\\ \vdots\\-b_{r,r+1}\\1\\0\\ \vdots\\0\end{pmatrix}+\cdots+x_n\begin{pmatrix}-b_{1,n}\\ \vdots\\-b_{r,n}\\0\\ 0\\\vdots\\1\end{pmatrix}\]

我们看到所有的解向量都可以用 \(\vec{\xi}_1=\begin{pmatrix}-b_{1,r+1}\\vdots\\-b_{r,r+1}\\1\\0\\ \vdots\\0\end{pmatrix},\cdots+\vec{\xi}_{n-r}=\begin{pmatrix}-b_{1,n}\\ \vdots\\-b_{r,n}\\0\\ 0\\\vdots\\1\end{pmatrix}\) 表示,而显然这些向量是线性无关的。(\(r+1\) 行及以下元素,\(1\) 在不同的位置,其它都是 \(0\))。所以它就是解向量组的极大无关组。

这个定理的证明,实际上也给出了求基础解系的方法。就是先将系数矩阵化成行最简矩阵,将自由元依次取一个为 \(1\),其它自由元取 \(0\)。然后这个自由元所对应的列上的数字,换个符号,就是对应行上非自由元的值。

举例说,我们先取 \(x_{r+1}=1\),其它自由元都是 \(0\),那么第 \(r+1\) 列上的数字,换个符号,就是对应行上的非自由元的值,所以解就是 \[\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots\\x_r\\x_{r+1}\\ \vdots\\x_n\end{pmatrix}=x_{r+1}\begin{pmatrix}-b_{1,r+1}\\ \vdots\\-b_{r,r+1}\\1\\0\\ \vdots\\0\end{pmatrix}+\cdots\]

我们用一个例子来说明这个方法。

例1:解齐次线性方程组 \(A\vec{x}=0\),其中\[A=\begin{pmatrix}0&3&-6&6&4&-5\\ 3&-7&8&-5&8&9\\ 3&-9&12&-9&6&15\end{pmatrix}\]

解:我们对将系数矩阵化成行最简矩阵(我们略去过程,重要的是说明这里的方法)

\[A=\begin{pmatrix}0&3&-6&6&4&-5\\ 3&-7&8&-5&8&9\\ 3&-9&12&-9&6&15\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&-2&3&0&-24\\ 0&1&-2&2&0&-7\\ 0&0&0&0&1&4\end{pmatrix}\]

所以选 \(x_3,x_4,x_6\) 为自由元,\(x_1,x_2,x_5\) 为非自由元。取 \( x_3=1,x_4=0,x_6=0\) ,就得到解向量\(\vec{\xi}_1=\begin{pmatrix}2\\2\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix}\)

取 \( x_3=0,x_4=1,x_6=0\) ,就得到解向量\(\vec{\xi}_2=\begin{pmatrix}-3\\-2\\0\\1\\0\\0\end{pmatrix}\)

取 \( x_3=0,x_4=0,x_6=1\) ,就得到解向量\(\vec{\xi}_2=\begin{pmatrix}24\\7\\0\\0\\-4\\1\end{pmatrix}\)

所以基础解系为 \[\vec{\xi}_1=\begin{pmatrix}2\\2\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix}, \vec{\xi}_2=\begin{pmatrix}-3\\-2\\0\\1\\0\\0\end{pmatrix}, \vec{\xi}_2=\begin{pmatrix}24\\7\\0\\0\\-4\\1\end{pmatrix}\]

方程组的通解为 \(\vec{x}=x_3\xi_1+x_4\xi_2+x_6\xi_3\)。如果令 \(x_3=C_1, x_4=C_2, x_6=C_3\)),则方程的通解可写成\(\vec{x}=C_1\xi_1+C_2\xi_2+C_3\xi_3\)。

5,非齐次方程组 \(A\vec{x}=\vec{b}\) 的解的性质:

定理2:若 \(\vec{x}_1, \vec{x}_2\) 都是 \(A\vec{x}=\vec{b}\) 的解,则 \(\vec{x}_1-\vec{x}_2\) 是齐次方程组 \(A\vec{x}=0\) 的解。

证明:\(A(\vec{x}_1-\vec{x}_2))=A\vec{x}_1-A\vec{x}_2=\vec{b}-\vec{b}=0\)

定理3:\(A\vec{x}=\vec{b}\) 的任一解都可表示成 \(\vec{x}_h+\vec{x}_p\),其中 \(\vec{x}_h\) 是 \(A\vec{x}=0\) 的解, \(\vec{x}_p\) 是\(A\vec{x}=\vec{b}\) 的解。

证明:由前一个定理立刻得到这个结论。

定理4:\(A\vec{x}=\vec{b}\) 的通解为 \(\vec{x}_h+\vec{x}_p\),其中 \(\vec{x}_h\) 是 \(A\vec{x}=0\) 的通解, \(\vec{x}_p\) 是\(A\vec{x}=\vec{b}\) 的一个解。

\(\vec{x}_h\) 我们通常称为 \(A\vec{x}=\vec{b}\) 的特解。

证明:我们只需要将前面一个定理里的 \(\vec{x}_h\) 取遍 \(A\vec{x}=0\) 的解,就得到了这个定理的结论。

从上面的这个定理,我们求解非齐次线性方程组的时候,只需要求出对就齐次线性方程组的通解,再求出非齐次方程的一个特解就行了。

我们已经知道如何求齐次方程的通解了,那么非齐次方程组的特解如何求?

6,特解的求法。求特解最简单的方法,就是令所有的自由元为 \(0\),那么增广矩阵的行最简矩阵的右边就是非自由元的值。

我们来看例子。

例2:求 \(A\vec{x}=\vec{b}\) 的通解,其中 \(A=\begin{pmatrix}1&2&1&1&1\\2&4&3&1&1\\-1&-2&1&3&-3\\0&0&2&4&-2\end{pmatrix}, \vec{b}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\\2\end{pmatrix}\)。

解:我们对增广矩阵做初等变换,化成行最简矩阵(我们略去细节)

\[(A,\vec{b})=\left(\begin{array}{ccccc:c}1&2&1&1&1&1\\2&4&3&1&1&0\\-1&-2&1&3&-3&1\\0&0&2&4&-2&2\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccccc:c}1&2&0&0&2&-3\\0&0&1&0&-1&1\\0&0&0&1&0&1\\0&0&0&0&0&0\end{array}\right)\]

自由元为 \(x_2,x_5\)。从增广矩阵的左边,系数矩阵的行最简矩阵,我们可以得到齐次方程的基础解系

\[\xi_1=\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix}, \xi_2=\begin{pmatrix}-2\\0\\1\\0\\1\end{pmatrix}\]

令所有自由元为 \(0\),矩阵的右边给出了非自由元的特解 \(x_p=\begin{pmatrix}-3\\0\\1\\1\\0\end{pmatrix}\)

所以方程组的通解为 \[\vec{x}=C_1\xi_1+C_2\xi_2+\vec{x}_p=C_1\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix}+C_2\begin{pmatrix}-2\\0\\1\\0\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-3\\0\\1\\1\\0\end{pmatrix}\]