向量组的线性组合

1,向量组:一组同维数的(行或者列)向量的集合,称为一个向量组。如 \(A:\vec{a}_1, \vec{a}_2,\cdots, \vec{a}_n\)

向量的维数,是指的向量中分量(元素)的个数。例如 \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}\) 有三个分量(三个数字),它是三维向量。

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2,行向量与列向量:行向量是只有一行的矩阵,列向量是只有一列的矩阵。

通常我们只考虑列向量,但相应的理论对于行向量一般也是成立的。如果需要的话,我们会特别指出对于行向量应该做哪些改变。

3,向量组的线性组合:给定一组实数 \(k_1,k_2,\cdots,k_n\),表达式 \[k_1\vec{a}_1+k_2\vec{a}_2+\cdots+k_n\vec{a}_n\]

称为向量组 \(\vec{a}_1, \vec{a}_2,\cdots, \vec{a}_n\) 的一个线性组合,\(k_1,k_2,\cdots,k_n\) 称为线性组合的系数。

4,线性表示:若\[\vec{b}=k_1\vec{a}_1+k_2\vec{a}_2+\cdots+k_n\vec{a}_n\]我们称 \(\vec{b}\) 是向量组 \(\vec{a}_1, \vec{a}_2,\cdots, \vec{a}_n\) 的线性组合,或者称\(\vec{b}\) 可由向量组 \(\vec{a}_1, \vec{a}_2,\cdots, \vec{a}_n\) 线性表示。

例如:\(A:\vec{a}_1=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, \vec{a}_2=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}, \vec{b}=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}\),则 \(\vec{b}=3\vec{a}_1-2\vec{a}_2\)。所以 \(\vec{b}\) 可由\(\vec{a}_1,\vec{a}_2\) 线性表示。

5,线性组合的矩阵表示:利用分块矩阵的乘法,

\begin{align*}\vec{b}&=k_1\vec{a}_1+k_2\vec{a}_2+\cdots+k_n\vec{a}_n\\ &\Rightarrow\quad \begin{pmatrix}\vec{a}_1, \vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}k_1\\k_2\\ \vdots\\ k_n\end{pmatrix}=\vec{b}\end{align*}

由线性方程组的理论,我们有下列的定理

定理:若 \(\vec{b}\) 可由向量组 \(\vec{a}_1, \vec{a}_2,\cdots, \vec{a}_n\) 线性表示 \(\quad\Rightarrow \quad R(A)=R(A,\vec{b})\),其中 \(A=\begin{pmatrix}\vec{a}_1, \vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_n\end{pmatrix}\)。

注意:若 \(\vec{a}_1, \vec{a}_2,\cdots, \vec{a}_n\) 是行向量,则 \(A=\begin{pmatrix}\vec{a}_1^T, \vec{a}_2^T,\cdots,\vec{a}_n^t\end{pmatrix}\),就是要先将行向量转置成列向量。

6,向量组等价:

  • 若向量组 \(B:\vec{b}_1, \vec{b}_2,\cdots, \vec{b}_m\) 中的每一个向量可用向量组 \(A:\vec{a}_1, \vec{a}_2,\cdots, \vec{a}_n\) 线性表示,我们称向量组 \(B\) 可由向量组 \(A\) 表示。
  • 若 \(A,B\) 可相互表示,我们称这两个向量组等价。

关于向量组等价,我们有如下的:

7,定理(向量组等价):若向量组 \(A,B\) 等价 \(\quad \Rightarrow\quad R(A)=R(B)=R(A,B)\)。

证明:因为 \(\vec{b}_i=k_1\vec{a}_1+k_2\vec{a}_2+\cdots+k_n\vec{a}_n\)

\(\quad\Rightarrow\quad A\vec{x}=\vec{b}_i\)有解 \(\quad\Rightarrow\quad R(A)=R(A,\vec{b}_i)\)

\(\quad\Rightarrow\quad R(A)=R(A,B)\),反之亦然。

例1,设 \(\vec{a}_1=\begin{pmatrix}1\\1\\2\\2\end{pmatrix}, \vec{a}_2=\begin{pmatrix}1\\2\\1\\3\end{pmatrix}, \vec{a}_3=\begin{pmatrix}1\\-1\\4\\0\end{pmatrix}, \vec{b}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\\1\end{pmatrix}\),证明 \(\vec{b}\) 能由 \(\vec{a}_1, \vec{a}_2, \vec{a}_3\) 线性表示,并求出线性表示的表达式。

解:我们解线性方程组 \(A\vec{x}=\vec{b}\)

\begin{align*}(A,\vec{b})&=\left(\begin{array}{ccc:c} 1&1&1&1\\ 1&2&-1&0\\2&1&4&3\\ 2&3&0&1\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc:c} 1&1&1&1\\ 0&1&-2&-1\\0&-1&2&1\\ 0&1&-2&-1\end{array}\right)\\ &\sim \left(\begin{array}{ccc:c} 1&1&1&1\\ 0&1&-2&-1\\0&0&0&0\\ 0&0&0&0\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc:c} 1&0&3&2\\ 0&1&-2&-1\\0&0&0&0\\ 0&0&0&0\end{array}\right)\end{align*}

\(R(A)=R(A,\vec{b})=2\),所以 \(\vec{b}\) 能由 \(\vec{a}_1, \vec{a}_2, \vec{a}_3\) 线性表示。又,方程组的解为

\[\vec{x}=C\begin{pmatrix}-3\\2\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}\] 所以\[\vec{b}=(-3c+2)\vec{a_1}+(2cc-1)\vec{a}_2c\vec{a}_3\]

例2,设 \(\vec{a}_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\-1\end{pmatrix}, \vec{a}_2=\begin{pmatrix}3\\1\\1\\3\end{pmatrix}, \vec{b}_1=\begin{pmatrix}2\\0\\1\\1\end{pmatrix},\vec{b}_2=\begin{pmatrix}1\\1\\0\\2\end{pmatrix},\vec{b}_3=\begin{pmatrix}3\\-1\\2\\0\end{pmatrix}\),证明向量组 \(\vec{a}_1,\vec{a}_2\) 与向量组 \(\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_3\) 等价。

解:我们只需要对矩阵 \((A,B)\) 做初等变换即可。从中可以看出 \(R(A),R(B)\) 及 \(R(A,B)\)。

\begin{align*}(A,B)&=\left(\begin{array}{cc:ccc}1&3&2&1&3\\ -1&1&0&1&-1\\ 1&1&1&0&2\\-1&3&1&2&0\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cc:ccc}1&3&2&1&3\\ 0&4&2&2&2\\ 0&-2&-1&-1&-1\\0&6&3&3&3\end{array}\right)\\ &\sim \left(\begin{array}{cc:ccc}1&3&2&1&3\\ 0&2&1&1&1\\ 0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{array}\right)\end{align*}

所以 \(R(A)=R(A,B)=2\),而 \[B\sim \begin{pmatrix}2&1&3\\1&1&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&1&1\\2&1&3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&1&1\\0&-1&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\]

我们得到 \(R(B)=2\)。所以我们有 \(R(A)=R(B)=R(A,B)=2\),所以这两个向量组等价。