向量组的秩与极大无关组

向量组的极大无关组理论是线性空间的基础,也是研究线性方程组解的结构的基础,这一节我们来讲述这一部分的理论。

笔记下载:极大无关组与向量组的秩

1,极大无关组:如果向量组 \(A:\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_n,\vec{a}_{n}\) 的一个子集 \(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_n,\vec{a}_{r}\) 满足两个条件

  • \(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_n,\vec{a}_{r}\) 线性无关;
  • 任何 \(r+1\) 个向量线性相关

我们称 \(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_n,\vec{a}_{r}\) 为 \(A\) 的一个极大无关组。\(r\) 称为向量组 \(A\) 的秩, \(R(A)=r\)。

对于极大无关组,我们也可以这样定义

2,极大无关组的等价定义:若

  • \(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_n,\vec{a}_{r}\) 线性无关;
  • 向量组 \(A\) 中的任何一个向量可用 \(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_n,\vec{a}_{r}\) 线性表示。

我们称 \(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_n,\vec{a}_{r}\) 为 \(A\) 的一个极大无关组。

现在我们可以证明矩阵的行秩等于矩阵的列秩。

3,定理:矩阵的(行)秩等于其列向量组的秩。

我们以前定义矩阵的秩等于其行阶梯矩阵中非零行的行数,这个定义也称为矩阵的行秩。而矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩。这个定理告诉我们,矩阵的行秩等于矩阵的列秩,所以我们可以定义矩阵的秩就是行阶梯形的非零行的行数。

证明:(1)若 \(\vec{a}_1,\vec{a}_2, \cdots,\vec{a}_n\) 线性无关,

\(\quad \Rightarrow \quad A\vec{x}=0\) 只有零解 \(\quad \Rightarrow \quad R(A)=n\) ,它等于向量组的秩。

(2)若 \(R(A)=r<n\),\(\quad \Rightarrow \quad\) 取行阶梯矩阵中每一个非零行的第一个非零元所对应 \(A\) 的列,组成矩阵 \(B\)

\(\qquad\qquad\quad \Rightarrow \quad \) \(R(B)=rB\vec{x}=0\) 只有零解。

\(\qquad\qquad\quad \Rightarrow \quad \) \(B) 的列向量线性无关

\(\qquad\qquad\quad \Rightarrow \quad \) 添加任何 \(A\) 的列向量到 \(B\) 中的列向量组组成的向量组线性相关

\(\qquad\qquad\quad \Rightarrow \quad \) \(B\) 中的列向量为 \(A\) 中列向的极大无关组, \(R(B)=r=R(A)\),证毕。

4,如何求极大无关组:由上面定理的证明,我们可以这样取极大无关组:

  • 将矩阵化成行阶梯形
  • 取每一个非零行的第一个非零元所在的列所对应的(原矩阵中的)列向量;
  • 所取出的列向量组就是矩阵的列向量组的极大无关组。

下一个问题是,如何将其它向量用极大无关组表示。若 \(A\sim B\),则 \(A\vec{x}=0\) 与 \(B\vec{x}=0\) 同解。所以 \(A\) 中列向量组之间的关系与 \(B\) 中的列向量组之间的关系相同。由此,我们得到了如何将其它向量用极大无关组表示的方法。

5,如何将其它向量用极大无关组表示:

  • 将矩阵化成行最简矩阵
  • 行最简矩阵列向量之间的关系就是原矩阵的列向量的关系。

这里我们要求将矩阵化成行最简矩阵,就是因为化成行最简矩阵后,非零行的第一个非零元为 \(1\),其它的向量就用这些 \(1\) 所在的列表示就特别简单。我们来看例题。

例1,\(A=\begin{pmatrix}2&-1&-1&2\\1&1&-2&4\\ 4&-6&2&4\\3&6&-9&9\end{pmatrix}\),求 \(A\) 的列向量组的一个极大无关组,并把其它向量用极大无关组线性表示。

解:我们对 \(A\) 作初等变换

\begin{align*}A&=\begin{pmatrix}2&-1&-1&2\\1&1&-2&4\\ 4&-6&2&4\\3&6&-9&9\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&1&-2&4\\2&-1&-1&2\\4&-6&2&4\\3&6&-9&9\end{pmatrix}\\&\sim \begin{pmatrix}1&1&-2&4\\0&-3&3&-6\\0&-10&10&-12\\0&3&-3&-3\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&1&-2&4\\0&1&-1&2\\0&5&-5&6\\0&1&-1&-1\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&1&-2&4\\0&1&-1&2\\0&0&0&-4\\0&0&0&-3\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&1&-2&4\\0&1&-1&2\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&1&-2&0\\0&1&-1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&-1&0\\0&1&-1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}\end{align*}

我们看到,各个非零行的第一个非零元分别位于第一、二、四列,所以 \(A\) 的极大无关组可选为 \(\vec{a}_1=\begin{pmatrix}2\\1\\4\\3\end{pmatrix},\vec{a}_2=\begin{pmatrix}-1\\1\\-6\\6\end{pmatrix},\vec{a}_4=\begin{pmatrix}2\\4\\4\\9\end{pmatrix}\)。

现在我们将 \(\vec{a}_3\) 用 \(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_4\) 线性表示。从行最简矩阵的关系 \(\begin{pmatrix}-1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}–\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}\),我们有关系 \(\vec{a}_3=-\vec{a}_1-\vec{a}_2\)。也就是

\[\begin{pmatrix}-1\\-2\\2\\9\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}2\\1\\4\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\1\\-6\\6\end{pmatrix}\]