用配方法化二次型为标准形

如果不需要保持向量的长度,也不需要寻求正交变换来化二次型为标准形,我们就可以用更初等的方法将二次型化成标准形,这就是配方法。

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我们在解二次方程的时候,就用到了配方法,二次方程的求根公式就是通过配方法得到。我们举例说明如何利用配方法求二次型的标准形。

例1:用配方法将二次型 \(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+3x_2^2+x_3^2-4x_1x_2-4x_1x_3-8x_2x_3\) 化成标准形。

解:我们先将含有 \(x_1\) 的项配成完全平方,然后再将含有 \(x_2\) 的项配成完全平方,依次进行,最后得到二次型的标准形。

\begin{align*}f(x_1,x_2,x_3)&=2x_1^2+3x_2^2+x_3^2-4x_1x_2-4x_1x_3-8x_2x_3 \\ &=(2x_1^2-4x_1x_2-4x_1x_3)+3x_2^2+x_3^2-8x_2x_3 \\ &=2(x_1^2-2x_1(x_2+x_3))+3x_2^2+x_3^2-8x_2x_3 \\ &=2(x_1^2-2x_1(x_2+x_3)+(x_2+x_3)^2-(x_2+x_3)^2)+3x_2^2+x_3^2-8x_2x_3\\ &=2(x_1-x_2-x_3)^2+3x_2^2-2(x_2+x_3)^2+x_3^2-8x_2x_3\\ &=2(x_1-x_2-x_3)^2+3x_2^2-2x_2^2-4x_2x_3-2x_3^2+x_3^2-8x_2x_3\\ &=2(x_1-x_2-x_3)^2+(x_2^2-12x_2x_3)-x_3^2\\ &=2(x_1-x_2-x_3)^2+(x_2^2-12x_2x_3+36x_3^2)-36x_3^2-x_3^2 \\ &=2(x_1-x_2-x_3)^2+(x_2-6x_3)^2-37x_3^2\end{align*}

所以只要令 \begin{cases}y_1=x_1-x_2-x_3\\ y_2=x_2-6x_3\\ y_3=\sqrt{37}x_3, \end{cases}二次型的标准形就是 \(f(x_1,x_2,x_3)=2y_1^2+y_2^2-37y_3^2\)。

如果要求出变换所用的矩阵, 我们可以解方程组 \begin{cases}x_1-x_2-x_3=y_1\\ x_2-6x_3=y_2\\ x_3=y_3 \end{cases}得到

\[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&-\frac{7}{\sqrt{37}}\\ 0&1&-\frac{6}{\sqrt{37}}\\ 0&0& \frac{1}{\sqrt{37}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}\]

例2,将二次型 \(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1x_2+4x_1x_3\) 化成标准形。

解:因为没有二次项,所以没有办法配成完全平方。但是利用平方差公式,可以将两项之积化成两个平方项之差。

我们令 \begin{cases}x_1=y_1+y_2\\ x_2=y_1-y_2\\ x_3=y_3\end{cases}则二次型化成

\[f(x_1,x_2,x_3)=2(y_1+y_2)(y_1-y_2)+4(y_1+y_2)y_3=2y_1^2-2y_2^2+4y_1y_3+4y_2y_3\]

再利用我们之前的配方法,

\begin{align*}f(x_1,x_2,x_3)&=2y_1^2-2y_2^2+4y_1y_3+4y_2y_3\\ &=2(y_1^2+2y_1y_3)-2y_2^2+4y_2y_3\\ &=2(y_1+y_3)^2-2y_2^2-2y_3^2+4y_2y_3\\ &=2(y_1+y_3)^2-2(y_2-y_3)^2\end{align*}

所以只要令 \begin{cases}y_1+y_3=z_1\\ y_2-y_3=z_2\\ y_3=z_3\end{cases}那么二次型的标准形为 \(f(x_1,x_2,x_3)=2z_1^2-2z_2^2\)。

现在求出变换所用的矩阵。从\begin{cases}y_1+y_3=z_1\\ y_2-y_3=z_2\\ y_3=z_3\end{cases} 解出 \(\vec{y}=C_2\vec{z}\),

\[C_2=\begin{pmatrix}1&0&-1\\ 0&1&1\\ 0&0&1\end{pmatrix}\]

从第一步变换, \begin{cases}x_1=y_1+y_2\\ x_2=y_1-y_2\\ x_3=y_3\end{cases}\(\vec{x}=C_1\vec{y}\), 我们有 \[C_1=\begin{pmatrix}1&1&0\\ 1&-1&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}\]

所以变换 \(\vec{x}=C\vec{z}\) 的矩阵为

\[C=C_1C_2=\begin{pmatrix}1&1&0\\ 1&-1&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&-1\\ 0&1&1\\ 0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&-1&-2\\ 0&0&1\end{pmatrix}\]