用正交变换法将二次型化为标准形

这一节我们讲述如何利用正交变换将二次型化成标准形。

笔记下载:用正交变换法化二次型为标准形

我们之前对实对称矩阵有这样的结论:

1,定理1:对实对称矩阵 \(A\),存在正交矩阵 \(Q\),使得 \(Q^TAQ=D\),\(D\) 为对角矩阵。

因为实二次型的矩阵是实对称矩阵,所以我们有如下的定理。

2,定理2:对任意的实二次型 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\vec{x}^TA\vec{x}\),都存在一个正交变换 \(\vec{x}=Q\vec{y}\),使得 \[\vec{x}^TA\vec{x}=\vec{y}^T(Q^TAQ)\vec{y}=\lambda_1y_1^2+\cdots+\lambda_ny_n^2\]

其中, \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\) 是 \(A\) 的特征值, \(Q\) 的列向量是 \(A\) 的对应 \(\lambda_i\) 的特征向量(单位向量)。

所以,用正交变换化二次型为标准形,实质上就是实对称矩阵对角化过程。

例1:求一个正交变换,化二次型 \[f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+4x_2^2+4x_3^2-4x_1x_2+4x_1x_3-8x_2x_3\]为标准形。

解:二次型所对应的矩阵为 \[A=\begin{pmatrix}1&-2&2\\ -2&4&-4\\ 2&-4&4\end{pmatrix}\]

(1)先求特征值。

\begin{align*}|A-\lambda I|&=\begin{vmatrix}1-\lambda&-2&2\\ -2&4-\lambda&-4\\ 2&-4&4-\lambda \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1-\lambda&-2&2\\ -2&4-\lambda&-4\\ 0&-\lambda&-\lambda \end{vmatrix}\\ &=(-\lambda)\begin{vmatrix}1-\lambda&-2&2\\ -2&4-\lambda&-4\\ 0&1&1 \end{vmatrix}=(-\lambda)\begin{vmatrix}1-\lambda&-2&2\\ -4&8-\lambda&-4\\ 0&0&1 \end{vmatrix}\\ &=(-\lambda)\begin{vmatrix}1-\lambda&-2\\ -4&8-\lambda\end{vmatrix}=(-\lambda)[(1-\lambda)(8-\lambda)-8]\\ &=(-\lambda)[8-9\lambda+\lambda^2-8]=-\lambda^2(\lambda-9)=0\end{align*}

所以特征值为 \(\lambda_{1,2}=0, \lambda_3=9\)。

(2)\(\lambda=0\) 时,

\[A-\lambda I=\begin{vmatrix}1&-2&2\\ -2&4&-4\\ 2&-4&4\end{vmatrix}\sim \begin{vmatrix}1&-2&2\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{vmatrix}\]

我们得到两个特征向量 \(\vec{x}_1=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}, \vec{x}_2=\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}\)。

将它们规范正交化。

\(\vec{b}_1=\vec{x}_1, \|\vec{b}_1\|^2=5\),

\begin{align*}\vec{b}_2&=\vec{x}_2-\frac{\vec{x}_2\cdot\vec{b}_1}{\|\vec{b}_1\|^2}\vec{b}_1=\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}-\frac{-4}{5}\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{8}{5}\\ \frac{4}{5}\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{2}{5}\\ \frac{4}{5}\\1\end{pmatrix}\end{align*}

\(\|\vec{b}_2\|^2=\frac{4}{25}+\frac{16}{25}+1=\frac{9}{5}, \|\vec{b}_2\|=\frac{3}{\sqrt5}\)。所以

\[\vec{e}_1=\begin{pmatrix}\frac{2}{\sqrt5}\\ \frac{1}{\sqrt5}\\0\end{pmatrix}, \vec{e}_2=\begin{pmatrix}-\frac{2}{3\sqrt5}\\ \frac{4}{3\sqrt5}\\\frac{\sqrt5}{3}\end{pmatrix}\]

当 \(\lambda=9\) 时,

\begin{align*}A-\lambda I&=\begin{vmatrix}-8&-2&2\\ -2&-5&-4\\ 2&-4&-5\end{vmatrix}\sim \begin{vmatrix}-8&-2&2\\ -2&-5&-4\\ 0&-9&-9\end{vmatrix}\\ &\sim \begin{vmatrix}-8&-2&2\\ -2&-5&-4\\ 0&1&1\end{vmatrix}\sim \begin{vmatrix}-8&0&4\\ -2&0&1\\ 0&1&1\end{vmatrix}\\ &\sim \begin{vmatrix}2&0&-1\\ 0&1&1\\ 0&0&0\end{vmatrix}\end{align*}

所以 \(\vec{x}_3=\begin{pmatrix}1\\ -2\\2\end{pmatrix}\),\(\|\vec{x}_3\|^2=\frac{9}{4}, \|\vec{x}_3\|=\frac{3}{2}\)。所以\[\vec{e}_1=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\ -\frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}\end{pmatrix}\]

(3)对角化

\[Q=\begin{pmatrix}\frac{2}{\sqrt5}&-\frac{2}{3\sqrt5}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{\sqrt5} &\frac{4}{3\sqrt5}&-\frac{2}{3}\\ 0&\frac{\sqrt5}{3}&\frac{2}{3}\end{pmatrix}, D=\begin{pmatrix}0&&\\ &0&\\ &&9\end{pmatrix}\]

(4)标准化,令 \(\vec{x}=Q\vec{y}\),则 \[\vec{x}^TA\vec{x}=9y_3^2\]