二次型的定义及其矩阵表示

我们知道,二次曲线 \(ax^2+bxy+cy^2=d\) 都可以化成标准形 \(a_1x_1^2+a_2x_2x^2=d_1\)。那么同样的问题是,多个变量的二次多项式如何化成标准形,就是只有次方的项的二次型。

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1,二次型:\(n\) 元二次多项式 \begin{align*}f(x_1,x_2,\cdots,x_n)&=a_{11}x_1^2+2a{12}x_1x_2+\cdots+2x_1x_n\\ &\qquad+a_{22}x_2^2+2a_{23}x_2x_3+\cdots+2a_{2n}x_2x_n\\ &\qquad+\cdots\cdots\cdots\\ &\qquad+\cdots\cdots+a_{nn}x_n^2\end{align*}

我们把它写成对称的形式,令 \(a_{ji}=a_{ij}\),则有

\begin{align*}f(x_1,x_2,\cdots,x_n)&=a_{11}x_1^2+a{12}x_1x_2+\cdots+x_1x_n\\ &+a_{21}x_2x_1+a_{22}x_2^2+a_{23}x_2x_3+\cdots+a_{2n}x_2x_n\\ &+\cdots\cdots\cdots\\ & +a_{n1}x_nx_1+a_{n2}x_nx_2+\cdots+a_{nn}x_n^2\\ &= \vec{x}^TA\vec{x}\end{align*}

这里 \(\vec{x}=\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix}, A=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{an}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}\),并且 \(a_{ij}=a_{ji}\)。

例1,写出二次型的对应矩阵 \(A\)。

\[f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2-x_3^2+x_1x_2-2x_1x_3+2x_2x_3\]

解: \(A=\begin{pmatrix}1&\frac{1}{2}&-1\\ \frac{1}{2}&2&1\\ -1&1&-1\end{pmatrix}\)。

例2:\(A=\text{diag}(k_1,k_2,\cdots,k_n)\) 所对应的二次型为 \[f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=k_1x_1^2+k_2x_2^2+\cdots+k_nx_n^2\]

3,定理:二次型的矩阵表示式是唯一的。

证明:\(\vec{x}^TA\vec{x}-\vec{x}^TB\vec{x}=0\) 可以得到 \(\vec{x}^T(A-B\vec{x}=0\),因为 \(\vec{x}\) 元素都是变量,所以只能 \(A-B=0\),即 \(A=B\)。

4,二次型的标准形:二次型 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\vec{x}^TA\vec{x}\) 若可通过线性变换 \(\vec{x}=C\vec{y}\) 化成只有平方项的二次型

\[f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\vec{x}^TA\vec{x}=d_1y_1^2+d_2y_2^2+\cdots+d_ny_n^2\]我们称 \(d_1y_1^2+d_2y_2^2+\cdots+d_ny_n^2\) 为二次型 \(\vec{x}^TA\vec{x}\) 的标准形。

5,矩阵的合同:若存在可逆矩阵 \(C\),使得 \(B=C^TAC\) ,我们称 \(A\) 与 \(B\) 合同。

合同矩阵的性质:若 \(A\) 与 \(B\) 合同,则

  • \(A\) 与 \(B\) 同时可逆或者不可逆;
  • \(R(A)=R(B)\),且 \(A\) 与 \(B\) 等价。