逆矩阵的求法与矩阵可逆的条件

求方阵的逆矩阵通常有两种方法,初等变换法和伴随矩阵法。我们一般使用初等变换的方法来求逆矩阵,是因为它计算简便,计算量小。而伴随矩阵的计算量很大,计算量的增加是以阶数的平方来计算。例如,三阶方阵的逆矩阵要计算 \(9\) 个二阶行列式,而四阶方阵的逆矩阵要计算 \(16\) 个三阶行列式,而每个三阶行列式又是三个二阶行列式。所以,伴随矩阵的方法一般只使用于理论上的计算,具体的求逆,还是使用初等变换法。

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1,逆矩阵求法(初等变换法):求方阵 \(A\) 的逆矩阵,我们将方阵 \(A\) 与单位矩阵排成一个新的矩阵 \(\left[A \quad \vdots\quad I\right]\),然后对这个矩阵作初等变换,化成 \(\left[I \quad \vdots\quad B\right]\) 的形式,那么 \(A^{-1}=B\),即 \[\left[A \quad \vdots\quad I\right]\sim \left[I \quad \vdots\quad A^{-1}\right]\]

我们来看一个例题。

例1:设 \(A=\begin{pmatrix}-1&-3&0&1\\ 3&5&8&-3\\ -2&-6&3&2\\ 0&-1&2&1\end{pmatrix}\),求 \(A^{-1}\)。

解:我们将 \(A\) 与单位矩阵排在一起,然后对这个新矩阵作初等变换,只要左边的矩阵变成了单位矩阵,右边的单位矩阵就是原矩阵的逆矩阵。我们有

\begin{align*}\left[A \quad \vdots\quad I\right]&= \begin{pmatrix}-1&-3&0&1&\vdots&1&0&0&0\\ 3&5&8&-3&\vdots&0&1&0&0\\ -2&-6&3&2&\vdots&0&0&1&0\\ 0&-1&2&1&\vdots&0&0&0&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&3&0&-1&\vdots&-1&0&0&0\\ 3&5&8&-3&\vdots&0&1&0&0\\ -2&-6&3&2&\vdots&0&0&1&0\\ 0&-1&2&1&\vdots&0&0&0&1\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&3&0&-1&\vdots&-1&0&0&0\\ 0&-4&8&0&\vdots&3&1&0&0\\ 0&0&3&0&\vdots&-2&0&1&0\\ 0&-1&2&1&\vdots&0&0&0&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&3&0&-1&\vdots&-1&0&0&0\\0&-1&2&1&\vdots&0&0&0&1 \\ 0&0&3&0&\vdots&-2&0&1&0\\ 0&-4&8&0&\vdots&3&1&0&0\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&3&0&-1&\vdots&-1&0&0&0\\0&1&-2&-1&\vdots&0&0&0&-1 \\ 0&0&1&0&\vdots&-\frac{2}{3}&0&\frac{1}{3}&0\\ 0&-4&8&0&\vdots&3&1&0&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&3&0&-1&\vdots&-1&0&0&0\\0&1&-2&-1&\vdots&0&0&0&-1 \\ 0&0&1&0&\vdots&-\frac{2}{3}&0&\frac{1}{3}&0\\ 0&0&0&-4&\vdots&3&1&0&-4\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&3&0&-1&\vdots&-1&0&0&0\\0&1&-2&-1&\vdots&0&0&0&-1 \\ 0&0&1&0&\vdots&-\frac{2}{3}&0&\frac{1}{3}&0\\ 0&0&0&1&\vdots&-\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}&0&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&3&0&0&\vdots&-\frac{7}{4}&-\frac{1}{4}&0&0\\0&1&-2&0&\vdots&-\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}&0&0 \\ 0&0&1&0&\vdots&-\frac{2}{3}&0&\frac{1}{3}&0\\ 0&0&0&1&\vdots&-\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}&0&1\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&3&0&0&\vdots&-\frac{7}{4}&-\frac{1}{4}&0&0\\0&1&0&0&\vdots&-\frac{17}{12}&-\frac{1}{4}&\frac{2}{3}&0 \\ 0&0&1&0&\vdots&-\frac{2}{3}&0&\frac{1}{3}&0\\ 0&0&0&1&\vdots&-\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}&0&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&0&0&\vdots&\frac{5}{2}&\frac{1}{2}&-2&1\\0&1&0&0&\vdots&-\frac{17}{12}&-\frac{1}{4}&\frac{2}{3}&0 \\ 0&0&1&0&\vdots&-\frac{2}{3}&0&\frac{1}{3}&0\\ 0&0&0&1&\vdots&-\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}&0&1\end{pmatrix}\end{align*}

所以我们得到了 \[A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{5}{2}&\frac{1}{2}&-2&1\\-\frac{17}{12}&-\frac{1}{4}&\frac{2}{3}&0 \\ -\frac{2}{3}&0&\frac{1}{3}&0\\ -\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}&0&1\end{pmatrix}\]

2,矩阵可逆的条件。方阵可逆的等价条件有很多,我们可以列举如下:

  • 方阵 \(A\) 可逆;
  • \(|A|\ne 0\);
  • \(R(A)=n\);就是方阵的秩等于它的阶数;
  • \(A\vec{x}=0\) 只有零解(平凡解);
  • \(A\vec{x}=\vec{b}\) 有唯一解;
  • \(A\) 的所有特征值都不为 \(0\)(\(0\) 不是 \(A\) 的特征值);
  • \(A\) 的行向量组线性无关;
  • \(A\) 的列向量组线性无关;
  • \(A\sim I\),就是 \(A\) 与单位向量 \(I\) 等价。

以上这么多的等价条件,我们最常用的是第二条和第三条。因为计算量会比较小一点。

我们来看例题。

例2:判定矩阵 \(A=\begin{pmatrix}-4&0&-7&-7\\ -6&1&11&9\\ 7&-5&10&19\\-1&2&3&-1\end{pmatrix}\) 是否可逆。

解:我们对矩阵作初等变换,

\begin{align*}A&=\begin{pmatrix}-4&0&-7&-7\\ -6&1&11&9\\ 7&-5&10&19\\-1&2&3&-1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}-1&2&3&-1\\ -6&1&11&9\\ 7&-5&10&19\\-4&0&-7&-7\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}-1&2&3&-1\\0&-11&-7&15\\ 0&9&31&12\\0&-8&-19&-3\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}-1&2&3&-1\\0&-11&-7&15\\ 0&1&12&9\\0&-8&-19&-3\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}-1&2&3&-1\\0&1&12&9\\ 0&-11&-7&15\\0&-8&-19&-3\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}-1&2&3&-1\\0&1&12&9\\ 0&0&125&114\\0&0&77&69\end{pmatrix}\end{align*}

其实从这里我们可以看出,矩阵的秩等于 \(4\),因为最后两行不成比例,当然我们也可以计算一下(视频里有一个笔误,读者请注意一下)。

\begin{align*}A\sim \begin{pmatrix}-1&2&3&-1\\0&1&12&9\\ 0&0&125&114\\0&0&77&69\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}-1&2&3&-1\\0&1&12&9\\ 0&0&125&114\\0&0&0&69-114\cdot\frac{77}{125}\end{pmatrix}\end{align*}

显然最后一行最后一个数字不为 \(0\),所以矩阵 \(A\) 的行阶梯矩阵有 \(4\) 个非零行,它的秩等于 \(4\),等于矩阵的阶,所以矩阵是可逆的。

例3:判断矩阵 \(A=\begin{pmatrix}1&-5&-4\\0 &3&4\\-3&6&0\end{pmatrix}\) 是否可逆。

解:这是一个三阶矩阵,我们可以直接求它的行列式。

\begin{align*}|A|=\begin{vmatrix}1&-5&-4\\0 &3&4\\-3&6&0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&-5&-4\\0 &3&4\\0&-9&-12\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3&4\\-9&-12\end{vmatrix}=0\end{align*}

所以它不可逆。

3,注记:对于二阶矩阵 \(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}\),它可逆的条件简化为 \(ad-bc\ne 0\)。