行列式的性质与计算

行列式部分的复习,主要在于行列式的计算,以及它们的一些基本性质。首先我们复习行列式的定义,然后叙述它们的性质,最后利用这些性质来计算一些行列式。

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1,行列式的定义。我们采取行列式的递归法定义。因为这种定义方式比较容易理解和记忆,并且给出了行列式的一种计算方式。

二阶行列式:二阶行列式定义为\[|A|= \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc\]简单地说,就是主对角线乘积减去副对角线的乘积。

三阶行列式:\[|A|=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{1,3}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\ a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\ a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\ a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}\]

如果我们记 \(C_{ij}\) 为原行列式划掉第 \(i\) 行,第 \(j\) 列后所得的行列式,\(A_{ij}=(-1)^{i+j}C_{ij}\), 称为行列式的代数余子式,那么上式可以写成\[|A|=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}=\sum_{j=1}^{3}a_{1j}A_{1j}\]

由此,我们可以将此定义推广到 \(n\) 阶行列式。\[|A|=\begin{vmatrix}a_{11}& a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+\cdots+a_{1n}A_{1n}=\sum_{j=1}^{n}a_{1j}A_{1j}\]

这就是行列式的递归式定义,我们将高阶的行列式用低阶的行列式来定义。这样的定义也称为行列式的展开法。

2,行列式的性质:行列式的主要性质是以下四个:

  • 行列式可以以任何一行或者列展开,即 \(|A|=\sum_{j=1}^na_{ij}A_{ij}=\sum_{i=1}^na_{ij}A_{ij}\);
  • 交换行列式两行或者两列,行列式变号;
  • 某一行的因子可以提到行列式外面;
  • 将一行(列)加上另一行(列)的倍数,行列式的值不变。

第二、三、四个性质所指的运算,称为行列式的初等变换。利用这些变换,可以简化行列式的计算。另外,行列式还有其它一些性质,我们不一一列举了,涉及到计算的,主要是这几个性质。

3,行列式的计算。具体的行列式的计算,主要是降阶法,就是结合行列式的初等变换与行列式展开来计算行列式。

具体的方法是:我们先利用行列式的初等变换,将行列式的某一行或者某一列的元素,化成除了一个数之外,其余全部为 \(0\),然后将行列式按这一行或者列展开,得到一个低一阶的行列式,依此进行,最后得到一个二阶的行列式,从而求出行列式的值。

我们来看例题。

例1:计算五阶行列式\[|A|=\begin{vmatrix}1&1&1&1&1\\ 1&2&2&2&2\\1&2&3&3&3\\1&2&3&4&4\\1&2&3&4&5\end{vmatrix}\]

解:我们将第二、三、四、五行依次减去第一行,得到

\[|A|=\begin{vmatrix}1&1&1&1&1\\ 1&2&2&2&2\\1&2&3&3&3\\1&2&3&4&4\\1&2&3&4&5\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1\\0&1&2&2&2\\0&1&2&3&3\\0&1&2&3&4\end{vmatrix}\]

我们看到了,第一列除了第一个数字不为 \(0\) 以外,其余数字都是 \(0\),我们按第一列展开,就得到了 \[|A|=\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&2&2&2\\1&2&3&3\\1&2&3&4\end{vmatrix}\]

同样的方法,我们得到\begin{align*}|A|&=\begin{vmatrix}1&1&1&1&1\\ 1&2&2&2&2\\1&2&3&3&3\\1&2&3&4&4\\1&2&3&4&5\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1\\0&1&2&2&2\\0&1&2&3&3\\0&1&2&3&4\end{vmatrix}\\&=\begin{vmatrix}1&1&1&1\\ 0&1&1&1\\ 0&1&2&2\\0&1&2&3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&1\\ 1&2&2\\1&2&3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&1\\ 0&1&1\\0&1&2\end{vmatrix}\\&=\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}=1\end{align*}

我们来看第二个例题。

例2:计算行列式 \[|A|=\begin{vmatrix}a&b&\cdots&b\\ b&a&\cdots&b\\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\ b&b&\cdots&b\end{vmatrix}\]

解:我们看到除了主对角线元素外,其余的数字都是 \(b\),再分析一下,我们看到,每一行或者每一列,所有元素加起来都相同,所以,我们将所有行都加到第一行(也可以加到第一列),我们得到 \[|A|=\begin{vmatrix}a&b&\cdots&b\\ b&a&\cdots&b\\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\ b&b&\cdots&b\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a+(n-1)b&a+(n-1)b&\cdots&a+(n-1)b\\ b&a&\cdots&b\\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\ b&b&\cdots&b\end{vmatrix}\]

在第一行提出因子 \(a+(n-1)b\),我们得到\[|A|=[a+(n-1)b]\begin{vmatrix}1&1&\cdots&1\\ b&a&\cdots&b\\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\ b&b&\cdots&b\end{vmatrix}\]

再将第二行到第 \(n\) 行都减去第一行的 \(b\) 倍,我们得到

\[|A|=[a+(n-1)b]\begin{vmatrix}1&1&\cdots&1\\ 0&a-b&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&a-b\end{vmatrix}=[a+(n-1)b](a-b)^{n-1}\]

最后的等式,是因为这是一个上三角行列式,它的值等于主对角线元素的积。