线性代数复习:线性相关、线性无关与极大无关组

线性代数里,向量组的部分的内容主要是线性相关、线性无关以及极大无关组。我们先复习线性相关与线性无关的定义以及判定。然后再复习极大无关组的定义以及如何寻找极大无关组,以及如何用极大无关组来表示其它向量。

笔记下载:线性相关、线性无关与极大无关组

考虑向量组 \(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_n\),并且这些向量都是列向量(如果是行向量,我们需要对它们进行转置,变成列向量),我们来考察这些向量组的线性相关性。

1,线性相关和线性无关。如果方程组 \[k_1\vec{a}_1+k_2\vec{a}_2+\cdots+k_n\vec{a}_n=0\]只有零解,即 \(k_1=k_2=\cdots=k_n=0\),我们说向量组 \(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_n\) 线性无关;如果方程组有非零解,即至少有一个 \(k_i\ne0, 1\le i\le n\),则称此向量组线性相关。

如果我们把上面这个方程组用矩阵形式给出,\(A\vec{x}=0\),其中 \(A=(\vec{a}_1\quad\vec{a}_2\quad\cdots\quad\vec{a}_n), \vec{x}=(k_1,k_2,\cdots,k_n)^T\),则由线性方程组解的理论,我们可以得到等价的定义:

  • \(A\vec{x}=0\) 只有零解 \(\Longrightarrow\) 线性无关;\(A\vec{x}=0\) 有非零解 \(\Longrightarrow\) 线相无关;
  • \(R(A)=n\) \(\Longrightarrow\) 线性无关;\(R(A)<n\) \(\Longrightarrow\) 线性相关。

显然,第二个条件更容易判断,我们不需要求出解,即可得出向量组是线性相关还是无关。这也是判断线性相关性最常使用的方法。我们看一下例题。

例1:判断向量组是线性相关还是线性无关。

\begin{align*}(1) & \vec(a)_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix},\quad (2) \vec(a)_2=\begin{pmatrix}3\\2\\-1\end{pmatrix},\quad \vec(a)_3=\begin{pmatrix}3\\5\\-2\end{pmatrix}\\ (2) & \vec(a)_1=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\quad (2) \vec(a)_2=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix},\quad \vec(a)_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\\ (3) & \vec(a)_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\1\end{pmatrix},\quad (2) \vec(a)_2=\begin{pmatrix}2\\0\\1\\0\end{pmatrix},\quad \vec(a)_3=\begin{pmatrix}0\\-2\\1\\2\end{pmatrix}\end{align*}

解:(1)我们将向量组排成一个矩阵 \[A=\begin{pmatrix}1&3&3\\-1&2&5\\0&-1&-2\end{pmatrix}\]对此矩阵做初等变换,

\begin{align*}A&=\begin{pmatrix}1&3&3\\-1&2&5\\0&-1&-2\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&3&3\\0&5&8\\0&-1&-2\end{pmatrix}\\&\sim \begin{pmatrix}1&3&3\\0&-1&-2\\0&5&8\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&3&3\\0&-1&-2\\0&0&-2\end{pmatrix}\end{align*}我们现在可以看出 \(R(A)=3\),与向量的个数相同,所以它是线性无关的。

(2) 我们将向量组排成一个矩阵,\[A=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&-1&0\\1&1&1\end{pmatrix}\]对它做初等变换,

\begin{align*}A&=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&-1&0\\1&1&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&1&0\\0&-2&0\\0&0&1\end{pmatrix}\end{align*} 同样,\(R(A)=3\),所以向量组线性无关。

(3)向量组所形成的矩阵为 \[A=\begin{pmatrix}1&2&0\\ -1&0&-2\\ 1&1&1\\1&0&2\end{pmatrix}\]对它做初等变换,注意到第二行与第四行数字符号相反。我们有

\begin{align*}A&=\begin{pmatrix}1&2&0\\ -1&0&-2\\ 1&1&1\\1&0&2\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2&0\\ -1&0&-2\\ 1&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&2&0\\ 0&2&-2\\ 0&-1&1\\0&0&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2&0\\ 0&1&-1\\ 0&-1&1\\0&0&0\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&2&0\\ 0&1&-1\\ 0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\end{align*}

所以 \(R(A)=2<3\),向量组线性相关。

从以上的计算可以看到,我们要判断向量组是线性相关还是线性无关,只需要将向量组所排成的矩阵做初等变换即可,不需要具体求出 \(k_1,k_2,\cdots,k_n\)。

2,极大无关组及用极大无关组表示其它向量。

(1)如何确定极大无关组:由向量组排成矩阵的行阶梯形中,每一个非零行的第一个非零元所在的列,所对应的原向量组中的向量,即为极大无关组中的向量(当然,也有别的选择方式,但这种方式最容易计算,最容易记忆)。

(2)用极大无关组表示其它向量:行最简矩阵中,向量的对应关系就是原向量组中的关系。

我们用例题来说明这些结论。

例2:设矩阵 \[A=\begin{pmatrix}1&4&8&-3&-7\\ -1&2&7&3&4\\-2&2&9&5&5\\ 3&6&9&-5&-2\end{pmatrix}\] 求 \(A\) 的列向量组的一个极大无关组,并且把其它向量用极大无关组线性表示。

解,为了侧重于说明我们前面的结论,这里具体计算过程我们略过。

\[A=\begin{pmatrix}1&4&8&-3&-7\\ -1&2&7&3&4\\-2&2&9&5&5\\ 3&6&9&-5&-2\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&4&8&0&5\\0&2&5&0&-1\\0&0&0&1&4\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}\]

我们这时候就可以求出极大无关组了。我们看到行阶梯矩阵有三个非零行,第一个非零行的第一个非零元在第一列,第二个非零行的第一个非零元的位置在第二列,第三个非零行的第一个非零元在第四列。所以对应原向量组里的第一个、第二个和第四个向量,也就是说,极大无关组可以选择 \[\vec{a}_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\\3\end{pmatrix},\quad \vec{a}_2=\begin{pmatrix}4\\2\\2\\6\end{pmatrix},\quad \vec{a}_4=\begin{pmatrix}-3\\3\\5\\-5\end{pmatrix}\]

如果要将其它向量用极大无关组表示,最好还是将矩阵化成行最简矩阵,这样的话,它们的线性关系就一目了然了。

\[A\sim \begin{pmatrix}1&4&8&0&5\\0&2&5&0&-1\\0&0&0&1&4\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&-2&0&7\\0&1&\frac{5}{2}&0&-\frac{1}{2}\\0&0&0&1&4\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}\]

我们看到,在行最简矩阵里,第三列\[\xi_3=\begin{pmatrix}-2\\ \frac{5}{2}\\ 0\\0\end{pmatrix}=-2\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}+\frac{5}{2}\begin{pmatrix}0\\1\\ 0\\0\end{pmatrix}=-2\xi_1+\frac{5}{2}\xi_2\]所以对应原向量组的关系为 \[\vec{a}_3=-2\vec{a_1}+\frac{5}{2}\vec{a}_2\]

同样,对于第五列,\[\xi_5=7\xi_1-\frac{1}{2}\xi_2+4\xi_4\]对应原向量组的关系 \[\vec{a}_5=5\vec{a}_1-\frac{1}{2}\vec{a}_2+4\vec{a}_4\]

可以验证这个结论是正确的。