线性代数复习:特征值、特征向量与矩阵对角化

我们简单地复习了矩阵的特征值与特征向量的定义,并叙述了方阵可对角化的条件。然后用具体的例子说明了如何求特征值、特征向量及矩阵对角化的方法。

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1,特征值与特征向量的定义:若 \(\vec{x}\ne 0\),\(A\vec{x}=\lambda \vec{x}\),则我们称 \(\lambda\) 为矩阵 \(A\) 的一个特征值, \(\vec{x}\) 为 \(A\) 对应于特征值 \(\lambda\) 的特征向量。

2,特征值的求法:解多项式方程 \(|A-\lambda I|=0\), \(\lambda\) 就是 \(A\) 的特征值。

3,特征向量的求法:解方程组 \((A-\lambda)\vec{x}=0\),这里的 \(lambda\) 就是前面求出来的特征值的具体数值。

4,矩阵的对角化:

  • 对角化的条件:\(A\) 具有 \(n\) 个线性无关的特征向量;
  • 对角化的方法:设 \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\) 为 \(A\) 的 \(n\) 个特征值(有多少重数算多少次),\(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_n\) 为 \(A\) 的 \(n\) 个线性无关的对应特征值的特征向量,则\[P^{-1}AP=\Lambda\]其中 \(P=(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_n), \Lambda=\text{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n )\),这里 \(\text{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n )\)是指主对角线元素为 \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\) 的对角矩阵。

所以对于这一部分的内容,我们只需要练习一下矩阵对角化,就复习到了所有的内容。

例:设 \[A=\begin{pmatrix}7&4&16\\2&5&8\\-2&-2&-5\end{pmatrix}\] 问 \(A\)可否对角化,若可对角化,求可逆矩阵 \(P\)及对角阵 \(\Lambda\),使得 \(P^{-1}AP=\Lambda\)。

解:(1)我们先求特征值。\begin{align*}|A-\lambda I|&=\begin{vmatrix}7-\lambda&4&16\\ 2&5-\lambda&8\\ -2&-2&-5-\lambda\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}7-\lambda&4&16\\ 2&5-\lambda&8\\ 0&3-\lambda&3-\lambda\end{vmatrix}\\&=(3-\lambda)\begin{vmatrix}7-\lambda&4&16\\ 2&5-\lambda&8\\ 0&1&1\end{vmatrix}=(3-\lambda)\begin{vmatrix}7-\lambda&-12&0\\ 2&-3-\lambda&0\\ 0&1&1\end{vmatrix}\\ &=(3-\lambda)\begin{vmatrix}7-\lambda&-12\\ 2&-3-\lambda\end{vmatrix}=(3-\lambda)((7-\lambda)(-3-\lambda)+24)\\ &=(3-\lambda)(\lambda^2-4\lambda+3)\\&=(3-\lambda)(\lambda-3)(\lambda-1)\end{align*}

所以 \(|A-\lambda I|=0\) ,我们得到 \((3-\lambda)(\lambda-3)(\lambda-1)=0\),它的解为 \(\lambda_{1,2}=3, \lambda_3=1\)。

(2)特征向量:当 \(\lambda_{1,2}=3\) 时 ,

\begin{align*}A-\lambda I&=A-3I=\begin{pmatrix}4&4&16\\2&2&8\\-2&-2&-8\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&1&4\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\end{align*}

\((A-\lambda)\vec{x}=0\) 的解为 \[\vec{v}_1=\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix},\quad\vec{v}_2=\begin{pmatrix}-4\\0\\1\end{pmatrix}\]

当 \(\lambda_3=1\)时,\begin{align*}A-\lambda I&=A-I=\begin{pmatrix}6&4&16\\2&4&8\\-2&-2&-6\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}6&4&16\\1&2&4\\-2&-2&-6\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&2&4\\6&4&16\\-2&-2&-6\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2&4\\0&-8&-8\\0&2&2\end{pmatrix}\\&\sim \begin{pmatrix}1&2&4\\0&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}\end{align*}

所以特征向量为 \[\vec{v}_3=\begin{pmatrix}-2&-1&1\end{pmatrix}\]

所以我们得到了三个线性无关的特征向量,矩阵可以对角化。

(3)对角化。我们令 \[P=(\vec{v}_1\quad \vec{v}_2\quad \vec{v}_3)=\begin{pmatrix}-1&-4&-2\\ 1&0&-1\\ 0&1&1\end{pmatrix}, \Lambda=\begin{pmatrix}3&&\\ &3&\\ &&1\end{pmatrix}\]则 \(P^{-1}AP=\Lambda\)