线性代数复习(四):线性方程组

线性方程组部分的复习,主要有两部分,第一部分是怎么求解线性方程组,第二部分是线性方程组解的理论。

笔记下载:线性方程组

1,求解线性方程组的基本方法,是将系数矩阵(对齐次方程组)或者增广矩阵(对非齐次方程组)作初等行运算,将系数矩阵或者增广矩阵化成行最简矩阵,然后根据最简矩阵写出方程组的解(参考如何快速写出方程组的解)。即

  • \(A\vec{x}=0\),将 \(A\) 化成行最简矩阵;
  • \(A\vec{x}=\vec{b}\),将 \([A, \vec{b}\) 化成行最简矩阵;

我们看一下例题。

例1:解线性方程组 \(A\vec{x}=0\),其中 \[A=\begin{pmatrix}1&-1&5&-1\\1&1&-2&3\\3&-1&8&1\\1&3&-9&7\end{pmatrix}\]

解:我们对系数矩阵作初等行变换,

\begin{align*}A&=\begin{pmatrix}1&-1&5&-1\\1&1&-2&3\\3&-1&8&1\\1&3&-9&7\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&-1&5&-1\\0&2&-7&4\\0&2&-7&4\\0&4&-14&8\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&-1&5&-1\\0&2&-7&4\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-1&5&-1\\0&1&-\frac{7}{2}&2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}\\&\sim\begin{pmatrix}1&0&\frac{3}{2}&1\\0&1&-\frac{7}{2}&2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}\end{align*}

采用 如何快速写出方程组的解 一文中的方法,我们可以直接写出方程组的基础解系:

\[\xi_1=\begin{pmatrix}-\frac{3}{2}\\ \frac{7}{2}\\1\\0\end{pmatrix},\quad \xi_2=\begin{pmatrix}-1\\-2\\0\\1\end{pmatrix}\]

方程组的通解为:\[\vec{x}=C_1\begin{pmatrix}-\frac{3}{2}\\ \frac{7}{2}\\1\\0\end{pmatrix}+C_2\begin{pmatrix}-1\\-2\\0\\1\end{pmatrix}\]

我们来看一个非齐次方程组。

例2:求解方程组 \(A\vec{x}=\vec{b}\),其中 \[A=\begin{pmatrix}2&7&3&1\\3&5&2&2\\9&4&1&7\end{pmatrix},\quad \vec{b}=\begin{pmatrix}6\\4\\2\end{pmatrix}\]

解:我们对方程的增广矩阵作初等行变换

\begin{align*}(A,\vec{b})&=\begin{pmatrix}2&7&3&1&\vdots&6\\3&5&2&2&\vdots&4\\9&4&1&7&\vdots&2\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}2&7&3&1&\vdots&6\\1&-2&-1&1&\vdots&-2\\9&4&1&7&\vdots&2\end{pmatrix}\\&\sim \begin{pmatrix}1&-2&-1&1&\vdots&-2\\2&7&3&1&\vdots&6\\9&4&1&7&\vdots&2\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-2&-1&1&\vdots&-2\\0&11&5&-1&\vdots&10\\0&22&10&-2&\vdots&20\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&-2&-1&1&\vdots&-2\\0&11&5&-1&\vdots&10\\0&0&0&0&\vdots&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-2&-1&1&\vdots&-2\\0&1&\frac{5}{11}&-\frac{1}{11}&\vdots&\frac{10}{11}\\0&0&0&0&\vdots&0\end{pmatrix}\\&\sim \begin{pmatrix}1&0&-\frac{1}{11}&\frac{9}{11}&\vdots&-\frac{2}{11}\\0&1&\frac{5}{11}&-\frac{1}{11}&\vdots&\frac{10}{11}\\0&0&0&0&\vdots&0\end{pmatrix}\end{align*}

(视频里有一处笔误)现在已经是行最简矩阵了,我们可以直接写出基础解系和特解。\[\xi_1=\begin{pmatrix}\frac{1}{11}\\-\frac{5}{11}\\1\\0\end{pmatrix},\quad \xi_2=\begin{pmatrix}-\frac{9}{11}\\ \frac{1}{11}\\0\\1\end{pmatrix}\quad \eta=\begin{pmatrix}-\frac{2}{11}\\\frac{10}{11}\\0\\0\end{pmatrix}\]

所以方程组的通解为 \[\vec{x}=C_1\begin{pmatrix}\frac{1}{11}\\-\frac{5}{11}\\1\\0\end{pmatrix}+C_2\begin{pmatrix}-\frac{9}{11}\\ \frac{1}{11}\\0\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-\frac{2}{11}\\\frac{10}{11}\\0\\0\end{pmatrix}\]

2,齐次线性方程组的理论:

  • \(R(A)=n\),方程组只有零解,这里 \(n\) 是未知元的个数;
  • \(R(A)<n\),方程组有无穷多个解,它的基础解系的个数为 \(n-R(A)\)。

3,非齐次方程组解的理论:对非齐次方程组 \(A\vec{x}=\vec{b}\),

  • \(R(A)<R(A,\vec{b})\),方程组无解;
  • \(R(A)=R(A,\vec{b})=n\),方程组有唯一解;
  • \(R(A)=R(A,\vec{b})<n\),方程组有无穷多个解;
  • 有解时,非齐次方程组的通解为对应齐次方程组的通解加上非齐次方程组的一个特解。

我们看一个例题。

例3:请问 \(p,q\) 取何值时,方程组 \(A\vec{x}=\vec{b}\) (1)有唯一解;(2)有无穷多个解:(3)无解?其中 \[A=\begin{pmatrix}1&1&2&-1\\1&-1&-2&-7\\0&1&p&q\\1&1&2&q-2\end{pmatrix},\quad \vec{b}=\begin{pmatrix}1\\3\\q-3\\q+3\end{pmatrix}\]

解: 我们对增广矩阵作初等变换

\begin{align*}(A,\vec{b})&=\begin{pmatrix}1&1&2&-1&\vdots&1\\1&-1&-2&-7&\vdots&3\\0&1&p&q&\vdots&q-3\\1&1&2&q-2&\vdots&q+3\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&1&2&-1&\vdots&1\\0&-2&-4&-6&\vdots&2\\0&1&p&q&\vdots&q-3\\0&0&0&q-1&\vdots&q+2\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&1&2&-1&\vdots&1\\0&0&2p-4&2q-6&\vdots&2q-4\\0&1&p&q&\vdots&q-3\\0&0&0&q-1&\vdots&q+2\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&1&2&-1&\vdots&1\\0&1&p&q&\vdots&q-3\\0&0&2p-4&2q-6&\vdots&2q-4\\0&0&0&q-1&\vdots&q+2\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&1&2&-1&\vdots&1\\0&1&p&q&\vdots&q-3\\0&0&p-2&q-3&\vdots&q-2\\0&0&0&q-1&\vdots&q+2\end{pmatrix}\end{align*}

从第四行看,如果 \(q=1\),则方程组无解;如果从第三行看,如果 \(p=2\) 且 \(q=3\),则方程组也无解。

看主对角线,则如果 \(q\ne 1\) 且 \(p\ne 2\),方程组有唯一解。

无论如何,方程组都不可能有无穷个解。因为第三行不可能全部为 \(0\) \[p-2=0, q-3=0, q-2=0 \]是不可能的,第四行也不可能全部为 \(0\)。所以结论是

  • \(q=1\) 或者 \(p=2,q=3\),方程组无解;
  • \(p\ne2\) 且 \(q\ne 1\),方程组有唯一解。