初等变换的方法与技巧

线性代数这门课程里,几乎所有的计算都需要用到初等变换。从解线性方程组,到求逆矩阵,计算行列式,确定向量组的线性相关性,都要用到这一个计算技巧。这里我们讲解一下初等变换有些什么技巧或者需要注意到的地方。

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矩阵的初等(行)变换是指矩阵的三种基本运算:

  • 交换两行
  • 将一行乘以一个非零的数
  • 将一行加上另一行的某个倍数。

当然,行列式也有初等变换。行列式的初等变换可以同时对行和列进行。但是矩阵的初等变换我们一般只对行进行。这是因为矩阵的初等变换相当于对线性方程组做高斯消元法,列变换对于线性方程组来说, 有时候并没有什么意义。当然,对于行列式的初等变换,需要注意行列式的运算性质,它有符号和倍数的变化。

对于矩阵的初等变换,有两个小小的技巧:第一,变换要按列进行,只有前面(左边)的列变成了阶梯形之后,才对后面(右边)的列进行变换;第二,每次变换,都找一个最简单的数字作为变换的基础。如果没有简单的数字,可以先做一、两步变换,得到一个最简单的数字。

我们来看两个例子。

例1:将矩阵 \(A\) 化成行最简矩阵。其中 \[A=\begin{pmatrix}1&4&8&-3&-7\\ -1&2&7&3&4\\ -2&2&9&5&5\\ 3&6&9&-5&-2\end{pmatrix}\]

解:按照我们刚才讲的,按列进行,我们先将第一列除第一个数字外,全部化成 \(0\),因为第一个数字已经是 \(1\) ,它就是最简单的数字,我们以此为基础,开始进行初等变换。

我们将第一行加到第二行上去(第二行加上第一行),再将第一行乘以 \(2\) 加到第三行(或者准确地说,是将第三行加上第一行的两倍),将第一行乘以 \(-3\) 加到第四行上去,我们得到

\[A=\begin{pmatrix}1&4&8&-3&-7\\ -1&2&7&3&4\\ -2&2&9&5&5\\ 3&6&9&-5&-2\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&4&8&-3&-7\\0&6&15&0&-3\\ 0&10&25&-1&-9\\ 0&-6&-15&4&19\end{pmatrix}\]

这时候我们看见了,第一列除了第一个数字以外,其它的都变成了 \(0\),所以第一列的变换已经完成了。现在对第二列进行变换,保持第一行不变,将第二列的其余数学化成只有第一个不为 \(0\) 外,其它的都变成 \(0\)。这里我们提一句,虽然第四列里面有一个零,看起来只需要一次变换就可以化成只有一个不为 \(0\)(不考虑第一行),但是我们不这么做,是因为之后对第二列、第三列的的变换会影响到它的结果。

我们看到第二行有一个公因子 \(3\),我们将第二行除以 \(3\),再将第二行乘以 \(-5\) 加到第三行,乘以 \(3\) 加到第四行,我们得到了

\[A\sim \begin{pmatrix}1&4&8&-3&-7\\0&6&15&0&-3\\ 0&10&25&-1&-9\\ 0&-6&-15&4&19\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&4&8&-3&-7\\0&2&5&0&-1\\ 0&10&25&-1&-9\\ 0&-6&-15&4&19\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&4&8&-3&-7\\0&2&5&0&-1\\ 0&0&0&-1&-4\\ 0&0&0&4&6\end{pmatrix}\]

再看剩下的列,我们将第三行乘以 \(4\) 加到第四行,第四行全部变成了 \(0\)。

\[A\sim\begin{pmatrix}1&4&8&-3&-7\\0&2&5&0&-1\\ 0&0&0&-1&-4\\ 0&0&0&4&6\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&4&8&-3&-7\\0&2&5&0&-1\\ 0&0&0&-1&-4\\ 0&0&0&0&0\end{pmatrix}\]

我们现在看到,矩阵已经变成了一个行阶梯形。要把它变成行最简矩阵,我们要从右边到左边进行变换。将最下面一个非零行的第一个非零元的上方都变成 \(0\),然后每一个非零先的第一个非零元也要变成 \(1\)。我们将第三行乘以 \(3\) 加到第一行,

\[A\sim \begin{pmatrix}1&4&8&-3&-7\\0&2&5&0&-1\\ 0&0&0&-1&-4\\ 0&0&0&0&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&4&8&0&7\\0&2&5&0&-1\\ 0&0&0&-1&-4\\ 0&0&0&0&0\end{pmatrix}\]

再把第二行乘以 \(-2\) 加到第一行,然后再将第二行乘以 \(\frac{1}{2}\),第三行乘以 \(-1\),矩阵就变成了行最简矩阵。

\[A\sim \begin{pmatrix}1&4&8&0&7\\0&2&5&0&-1\\ 0&0&0&-1&-4\\ 0&0&0&0&0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&0&-2&0&5\\0&1&\frac{5}{2}&0&-\frac{1}{2}\\ 0&0&0&1&4\\ 0&0&0&0&0\end{pmatrix}\]