随机变量函数的数学期望

随机变量函数的数学期望计算比较直接。将数学期望的公式里,自变量的取值改成函数在该点的取值(离散型)或者将被积分函数换成 g(x)f(x) (连续型)即可。

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若我们知道随机变量 \(X\) 的分布,如何求 \(Y=g(X\) 数学期望。

1,离散型:若 \(P(X=x_i)=p_i\),则 \(Y=g(X)\) 的数学期望为

\[E(Y)=\sum_ig(x_i)p_i\]

这只要应用数学期望的定义就可以得到。

2,连续型:若 \(X\) 的概率密度为 \(f(x)\),则 \(Y=g(X)\) 的数学期望为

\[E(Y)=\int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)dx\]

例1,设 \(X\) 的分布律为

\begin{array}{c|ccc}X&-2&0&2\\ \hline p&0.4&0.3&0.3\end{array}

求\(E(X), E(X^2), E(3X^2+5)\)。

解:由前面的叙述,我们有

\begin{align*}E(X)&=(-2)\cdot 0.4+0\cdot 0.3+2\cdot 0.3=-0.2\\ E(X^2)&=(-2)^2\cdot 0.4+0^2\cdot 0.3+2^2\cdot 0.3=2.8\\ E(3X^2+5)&=(3\cdot(-2)^2+5)\cdot0.4+(3\cdot 0+5)\cdot0.3\\ &\quad+(3\cdot 2^2+5)\cdot0.3\\ &=6.8+1.5+5.1=13.4\end{align*}

例2,设 \(X\) 的概率密度为 \[f(x)=\begin{cases}2x,&0\le x\le 1\\ 0,&\text{其它}\end{cases}\]

求 \(E(X^2), E(3X-1)\)。

解:\begin{align*}E(X^2)&=\int_{-\infty}^{\infty}x^2f(x)dx\\ &=\int_0^12x^3dx=\frac{1}{2}x^4\Big|_0^1\\ &=frac{1}{2}\end{align*}

\begin{align*}E(3X-1)&=\int_{-\infty}^{\infty}(3x-1)f(x)dx\\ &=\int_0^12x(3x-1)dx=(2x^3-x^2)\Big|_0^1\\ &=1\end{align*}

例3,设 \(X\) 的概率密度为 \[f(x)=\begin{cases}e^{-x},&x\ge 0\\ 0,&x<0\end{cases}\]

求 \(E(2X),E(e^{-2X})\)。

解:\begin{align*}E(2X)&=\int_{-\infty}^{\infty}2xf(x)dx=\int_0^{\infty}2xe^{-x}dx\\ &2(-xe^{-x}-e^{-x})\Big|_0^{\infty}=2\end{align*}

\begin{align*}E(e^{-2X})&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2x}f(x)dx=\int_0^{\infty}e^{-2x}e^{-x}dx\\ &=\int_0^{\infty}e^{-3x}dx=-\frac{1}{3}e^{-3x}\Big|0^{\infty}=\frac{1}{3}\end{align*}