方差的性质

我们叙述并证明方差的性质,并利用方差的性质求解正态分布的方差。方差的这些性质在以后的统计部分经常用到。

笔记下载:方差的性质

方差的基本性质有:

(1)\(D(C)=0\);

(2)\(D(CX)=C^2D(X)\);

(3)\(D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\pm 2E\left[(X-E(X))\cdot(Y-E(Y))\right]\)

(4)若 \(X,Y\) 独立,则 \(D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\),注意,这里不管是加还是减,都变成加。

证明:(1)\(D(C)=E(C^2)-(E(C))^2=C^2-C^2=0\);

(2)\begin{align*}D(CX)&=E((CX)^2)-(E(CX))^2\\ &=E(C^2X^2)-(CE(X))^2\\ &=C^2E(X^2)-C^2(E(X))^2\\ &=C^2(E(X^2)-(E(X))^2)\\ &=C^2D(X)\end{align*}

(3)\begin{align*}D(X+Y)&=E((X+Y)^2)-(E(X+Y))^2\\ &=E(X^2+2XY+Y^2)-(E(X)+E(Y))^2\\ &=E(X^2)+2E(XY)+E(Y^2)-((E(X))^2+2E(x)E(Y)+(E(y))^2)\\ &=E(X^2)-(E(x))^2+E(Y^2)-(E(Y))^2+2(E(XY)-E(X)E(Y))\\ &=D(X)+D(Y)+2(E(XY)-E(X)E(Y))\end{align*}

\begin{align*}E\left[(X-E(X))\cdot(Y-E(Y))\right]&=E\left[XY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y)\right]\\ &=E(XY)-2E(X)E(Y)+E(X)E(Y)\\ &=E(XY)-E(X)E(Y)\end{align*}

所以

\begin{align*}D(X+Y)&=D(X)+D(Y)+2(E(XY)-E(X)E(Y))\\ &=D(X)+D(Y)+ 2E\left[(X-E(X))\cdot(Y-E(Y))\right]\end{align*}

\(D(X-Y)\) 的证明类似。

(4)若 \(X,Y\) 独立,则 \(E(XY)=E(X)E(Y)\),由上面的计算

\[D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\]

例1,设 \(X,Y\) 独立,\(D(X)=4,D(Y)=9\),令 \(Z=5X-Y+15\),求 \(D(Z)\)。

解:我们知道,常数跟任何随机变量都是独立的,所以

\begin{align*}D(Z)&=D(5X-Y+15)=D(5Z)+D(Y)+D(15)\\ &=25D(X)+D(Y)+0=109\end{align*}

现在我们利用方差的性质求正态分布的方差。

例2,设 \(X\) 服从正态分布 \(X\sim N(\mu,\sigma)\),求 \(X\) 的方差。

解:我们知道正态分布的期望 \E(X)=\mu\),而且变换 \(Y=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\),所以 \(E(Y)=0\)。

我们现在先求 \(Y\) 的方差 \(D(Y)\)。\(Y\) 的概率密度为\[f(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}, -\infty<y<\infty\]

所以

\begin{align*}D(Y)&=E(Y^2)-(E(Y))^2=E(Y^2)\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}y^2e^{-\frac{y^2}{2}}dy\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}y\cdot ye^{-\frac{y^2}{2}}dy\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(-ye^{-\frac{y^2}{2}}\Big|_{-\infty}^{\infty}+\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{y^2}{2}}dy\right)\\ &=0+\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{y^2}{2}}dy\\ =1\end{align*}

也就是 \(E(Y)=1\)。这里我们应用了结论 \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{y^2}{2}}dy=\sqrt{2\pi}\)。

因为 \(X=\sigma y+\mu\),

\[D(X)=D(\sigma Y+\mu)=\sigma^2D(Y)+0=\sigma^2\]

所以正态分布 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\) 的方差就是 \(D(X)=\sigma^2\)。

现在我们知道,正态分布的两个参数的意义,第一个参数 \(\mu\) 就是数学期望,第二个参数 \(\sigma^2\) 就是方差。