方差的定义与计算

方差是衡量随机变量离开数学期望的程度。方差的定义是随机变量与数学期望之差的平方的期望。但是我们计算方差的方法是:平方的期望减去期望的平方。这里我们推导了方差的这个计算公式并且利用这个公式来计算一些常见变量的方差。

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方差是衡量随机变量离开均值的程度,因为 \(E(X-E(X))=0\),所以用 \(X-E(X)\) 的期望来衡量是不合适的,这是因为它的正负项相互抵消了。

一个合理的选择是 \(E(|X-E(x)|)\),但是这里有绝对值,计算是有诸多不便,于是我们选择 \(E[(X-E(X))^2]\),这就是方差的定义。

1,随机变量的方差:\(D(X)=E[(X-E(X))^2]\)

标准差:\(\sigma=\sqrt{D(X)}\)。

2,计算:对于随机变量的方差,比较方便的计算公式是

\[D(X)=E(X^2)-(E(X))^2\]

证明:注意到 \(E(X)\) 是一个常数,

\begin{align*}D(X)&=E[(X-E(X))^2]=E[X^2-2XE(X)+(E(X))^2]\\ &=E(X^2)-2E(XE(X))+E((E(X))^2)\\&=E(X^2)-2E(X)\cdot E(X)+(E(X))^2\\ &=E(X^2)-2(E(X))^2+(E(X))^2\\ &=E(X^2)-(E(X))^2\end{align*}

例1,求两点分布的方差。

解:两点分布的分布律为 \(P(X=0)=1-p, P(X=1)=p\)。它的期望为 \(E(X)=p\)。现在来计算 \(E(X^2)\),

\[E(X^2)=0^2\cdot (1-p)+1^2\cdot p=p\]

所以\[D(X)=E(X^2)-(E(X))^2=p-p^2=p(1-p)\]

例2,求均匀分布 \(X\sim U(a,b)\) 的方差。

解:我们已经知道 \(\displaystyle E(X)=\frac{a+b}{2}\),又

\begin{align*}E(X^2)&=\int_{-\infty}^{\infty}x^2f(x)dx=\int_a^bx^2\cdot\frac{1}{b-a}dx\\ &=\frac{x^3}{3(b-a)}\Big|_a^b=\frac{b^3-a^3}{3(b-a)}\\&=\frac{b^2+ab+a^2}{3}\end{align*}

方差为

\begin{align*}D(X)&=E(X^2)-(E(X))^2=\frac{b^2+ab+a^2}{3}-\frac{(b+a)^2}{4}\\ &=\frac{4b^2+4ab+4a^2-3b^2-6ab-3a^2}{12}\\ &=\frac{(b-a)^2}{12}\end{align*}

例3,求指数分布 \(X\sim E{\lambda}\) 的方差。

解:指数分布的概率密度为\[f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}, &x\ge 0\\ 0,&x<0\end{cases}\]

它的期望为 \(E(X)=\frac{1}{\lambda}\)。我们来计算 \(E(X^2)\)。

\begin{align*}E(X^2)&=\int_0^{\infty}\lambda x^2e^{-\lambda x}dx\\ &=-x^2e^{-\lambda x}-\frac{2}{\lambda}xe^{-\lambda x}-\frac{2}{\lambda^2}e^{-\lambda x}\Big|_0^{\infty}\\ &=\frac{2}{\lambda^2}\end{align*}

方差为

\[D(X)=E(X^2)-(E(X))^2=\frac{2}{\lambda^2}-\frac{1}{\lambda^2}=\frac{1}{\lambda^2}\]