数学期望的性质

这个视频我们推导数学期望的一些性质并且利用这些性质来计算某些随机变量的期望。

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随机变量的数学期望具有下列的性质:

(1)\(E(C)=C\);

(2)\(E(CX)=CE(X)\);

(3)\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\);

(4)若 \(X,Y\) 独立,则 \(E(XY)=E(X)\cdot E(Y)\)。更高维数的情形类似。

证明:(1)\(E(C)=C\cdot 1=C\);

(2)若 \(X\) 是离散型,则

\[E(CX)=\sum_{i}Cx_ip_i=C\sum_{i}x_ip_i=CE(X)\]

若 \(X\) 是连续型,则

\[E(CX)=\int_{-\infty}^{\infty}Cxf(x)dx=C\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx=CE(X)\]

(3)若 \(X\) 是离散型,则

\begin{align*}E(X+Y)&=\sum_{j}\sum_{i}(x_i+y_j)p_{ij}\\&=\sum_{j}\sum_{i}x_ip_{ij}+\sum_{j}\sum_{i}y_jp_{ij}\\ &=\sum_{i}\sum_{j}x_ip_{ij}+\sum_{j}\sum_{i}y_jp_{ij}\\ &=\sum_{i}x_i\left(\sum_{j}p_{ij}\right)+\sum_{j}y_j\left(\sum_{i}p_{ij}\right)\\ &=\sum_{i}x_ip_{i,\cdot}+\sum_{j}y_jp_{\cdot,j}\\ &=E(X)+E(Y)\end{align*}

(4) \(X,Y\) 独立,若 \((X,Y)\) 是连续型,则 \(f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)\),所以

\begin{align*}E(XY)&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}xyf(x,y)dydx\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}xf_X(x)\cdot yf_Y(y)dydx\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}xf_X(x)dx\int_{-\infty}^{\infty}yf_Y(y)dy\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}xf_X(x)dx\cdot\int_{-\infty}^{\infty}yf_Y(y)dy\\ &=E(X)\cdot E(Y)\end{align*}

若 \((X,Y)\) 是离散型,则 \(p_{ij}=p_{i,\cdot}p_{\cdot,j}\),所以

\begin{align*}E(XY)&=\sum_{j}\sum_{i}x_iy_jp_{ij}\\&=\sum_{j}\sum_{i}x_iy_jp_{i,\cdot}p_{\cdot,j}\\ &=\sum_{j}x_ip_{i,\cdot}\sum_{i}y_jp_{\cdot,j}\\ &=\left(\sum_{j}x_ip_{i,\cdot}\right)\cdot \left(\sum_{i}y_jp_{\cdot,j}\right)\\&=E(X)\cdot E(Y)\end{align*}

例1,证明二项式分布 \(B(n,p)\) 的期望为 \(np\)。

证明:已经知道,两点分布的数学期望为 \(p\)。伯努利试验 的每次试验都服从两点分布。今设每次试验的随机变量为 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\),则二项式分布的随机变量

\[X=X_1+X_2+\cdots+X_n\]

所以

\begin{align*}E(X)&=E(X_1+X_2+\cdots+X_n)\\ &=E(X_1)+E(X_2)+\cdots+E(X_n)=np\end{align*}

例2,设 \(X\) 的分布律为

\begin{array}{c|ccc}X&-1&0&1\\ \hline p&0.4&0.4&0.2\end{array}

求 (1)\(E(3X)\);(2)若 \(X_1,X_2,X_3\) 服从同一分布,求 \(Y=X_1+X_2+X_3\) 的期望。

解:(1)因为 \[E(X)=(-1)\cdot 0.4+0\cdot 0.4+1\cdot 0.2=-0.2\]所以\[E(3X)=3E(X)=3\cdot (-0.2)=-0.6\]

(2)\[E(Y)=E(X_1+X_2+X_3)=E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)=-0.6\]