常见连续型随机变量的数学期望

这里我们计算常见连续型随机变量的数学期望,这些随机变量有均匀分布、指数分布及正态分布等。

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1,均匀分布:

\[X\sim U(a,b), \quad f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a},& z\le x\le b\\ 0,&\text{其它}\end{cases}\]

它的数学期望为

\begin{align*}E(X)&=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx=\int_a^b\frac{x}{b-a}dx\\ &=\frac{x^2}{2(b-a)}\Big|_a^b=\frac{b^2-a^2}{2(b-a)}\\&=\frac{a+b}{2}\end{align*}

这正好是 \([a,b]\) 区间的中点。

2,指数分布:

\[X\sim E(\lambda),\quad f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}, x\ge 0\\ 0,&x<0\end{cases}\]

它的数学期望为

\begin{align*}E(X)&=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx=\int_0^{\infty}\lambda xe^{-\lambda x}dx\\ &=-xe^{-\lambda x}-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}\Big|_0^{\infty}\\ &=\frac{1}{\lambda}\end{align*}

它的数学期望正好是它的参数的倒数 \(\frac{1}{\lambda}\)。

3,正态分布:

\[X\sim N(\mu,\sigma^2),\quad f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, -\infty\le x\le \infty\]

它的数学期望为

\begin{align*}E(X)&=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx=\int_{-\infty}^{\infty}x\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\end{align*}

作变换 \(y=\frac{x-\mu}{\sigma}\),得到

\begin{align*}E(X)&=\int_{-\infty}^{\infty}x\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sigma y+\mu}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{y^2}{2}}\sigma dy\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}(\sigma y+\mu)e^{-\frac{y^2}{2}} dy\\&=\frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}ye^{-\frac{y^2}{2}} dy+\frac{\mu}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{y^2}{2}} dy\\ &=-e^{-\frac{y^2}{2}}\Big|_{-\infty}^{\infty}+\frac{\mu}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{y^2}{2}} dy\\ &=0+\mu=\mu\end{align*}

这里第二个积分

\[\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{y^2}{2}} dy=\sqrt{2\pi}\]这是我们以前证明过的。所以, \(E(X)=\mu\),就是它的第一个参数的值。