二维随机变量的数学期望

对于二维随机变量,我们可以计算各自变量的数学期望。将一维变量的分布律或者概率密度换成边缘分布分律(离散型)或者边缘密度(连续),代入数学期望的计算式里即可。

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1,离散型随机变量:若 \((X,Y)\) 的联合分布律与边缘分布律各自为

\[P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij},\quad P(X=x_i)=p_{i,\cdot},\quad P(Y=y_j)=p_{\cdot,j}\]

则各自的数学期望为

\[E(X)=\sum_ix_ip_{i,\cdot},\quad E(Y)=\sum_j y_jp_{\cdot,j}\]

例1,设 \((X,Y)\) 的联合分布律与边缘分布律为

\begin{array}{|c|cccc|c|}\hline Y\Big{\backslash}X& 1&2&3&4&Y\\ \hline 1&\frac{1}{16}& 0&0&0&\frac{1}{16}\\ 2&\frac{1}{16}&\frac{1}{12}&\frac{1}{8}&0&\frac{7}{48}\\ 3&\frac{1}{16}&\frac{1}{12}&\frac{1}{8}&0&\frac{13}{48}\\ 4&\frac{1}{16}&\frac{1}{12}&\frac{1}{8}&\frac{1}{4}&\frac{25}{48}\\ \hline X&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&1\\ \hline\end{array}

求 \(E(X), E(Y)\)。

解:\[E(X)=1\cdot\frac{1}{4}+2\cdot\frac{1}{4}+3\cdot\frac{1}{4}+4\cdot\frac{1}{4}=\frac{5}{2}\]

\begin{align*}E(Y)&=1\cdot\frac{1}{16}+2\cdot\frac{7}{48}+3\cdot\frac{13}{48}+4\cdot\frac{25}{48}\\ &=\frac{156}{48}=\frac{13}{4}\end{align*}

2,连续型:设 \((X,Y)\) 的联合概率密度为 \(f(x,y)\),边缘概率密度分别为

\[f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy,\quad f_Y(y)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dx\]

那么它们各自的数学期望为

\[E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf_X(x)dx=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}xf(x,y)dydx\]

\[E(Y)=\int_{-\infty}^{\infty}yf_Y(y)dy=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}yf(x,y)dxdy\]

例2,设 \((X,Y)\) 的联合概率密度为

\[f(x,y)=\begin{cases}2e^{-(2x+y)},&x\ge 0, y\ge 0\\ 0,&\text{其它}\end{cases}\]

求 \(E(X), E(Y)\)。

解:\begin{align*}E(X)&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}xf(x,y)dydx\\ &=\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}2xe^{-(2x+y)}dydx\\ &=\int_0^{\infty}2xe^{-2x}(-e^{-y})\Big|_0^{\infty}dx\\ &=\int_0^{\infty}2xe^{-2x}dx\\ &=-xe^{-x}-\frac{1}{2}e^{-2x}\Big|_0^{\infty}=\frac{1}{2}\end{align*}

\begin{align*}E(Y)&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}yf(x,y)dxdy\\ &=\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}2ye^{-(2x+y)}dxdy\\ &=\int_0^{\infty}ye^{-y}(-e^{-2x})\Big|_0^{\infty}dx\\ &=\int_0^{\infty}ye^{-y}dy\\ &=-ye^{-y}-e^{-y}\Big|_0^{\infty}=1\end{align*}