二维随机变量的协方差

协方差是衡量两个随机变量的相关性的一个数字特征根据协方差的值,我们可以知道两个随机变量是正相关还是负相关,或者没有线性关系。

笔记下载:协方差

1,协方差:\((X,Y)\) 是二维随机变量,它们的协方差定义为

\[\text{Cov}(X,Y)=E\{(X-E(X))\cdot (Y-E(Y))\}\]

(1)\(\text{Cov}(X,Y)>0\),称 \(X,Y\) 正相关;

(1)\(\text{Cov}(X,Y)<0\),称 \(X,Y\) 负相关;

(1)\(\text{Cov}(X,Y)=0\),称 \(X,Y\) 不相关。

2,计算:\(\text{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)\cdot E(Y)\)。

\(\text{Cov}(X,X)=D(X)\)。

证明:\begin{align*}\text{Cov}(X,Y)&=E\{(X-E(X))\cdot (Y-E(Y))\\&=E\{XY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y)\}\\ &=E(XY)-E(XE(Y))-E(YE(X))+E(X)E(Y)\\ &=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)\\ &=E(XY)-E(X)E(Y) \end{align*}

例1,设 \((X,Y)\) 的联合概率密度为

\[f(x,y)=\begin{cases}\frac{1}{3}(x+y),&0<x<1, 0<y<2\\ 0,&\text{其它}\end{cases}\]

求 \(\text{Cov}(X,Y)\)。

解:\begin{align*}E(XY)&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}xyf(x,y)dydx\\ &=\int_0^1\int_0^2\frac{1}{3}xy(x+y)dydx\\ &=\int_0^1\frac{x}{3}\left(\frac{xy^2}{2}+\frac{1}{3}y^3\right)\Big|_0^2dx\\ &=\int_0^1\frac{x}{3}\left(2x+\frac{8}{3}\right)dx\\ &=\frac{2x^3}{9}+\frac{4x^2}{9}\Big|_0^1\\ &=\frac{2}{3}\end{align*}

\begin{align*}E(x)&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}xf(x,y)dydx\\ &=\int_0^1\frac{x}{3}\left(xy+\frac{y^2}{2}\right)\Big|_0^2dx\\ &=\int_0^1\frac{x}{3}(2x+2)dx\\ &=\frac{2x^3}{9}+\frac{x^2}{3}\Big|_0^1\\ &=\frac{5}{9}\end{align*}

\begin{align*}E(Y)&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}yf(x,y)dxdy\\ &=\int_0^2\int_0^1\frac{y}{3}(x+y)dxdy\\ &=\int_0^2\frac{y}{3}\left(\frac{x^2}{2}+xy\right)\Big|_0^1dy\\ &=\int_0^2\frac{y}{3}\left(\frac{1}{2}+y\right)dy\\ &=\frac{y^2}{12}+\frac{y^3}{9}\Big|_0^2\\ &=\frac{1}{3}+\frac{8}{9}=\frac{11}{9}\end{align*}

所以

\begin{align*}\text{Cov}(X,Y)&=E(XY)-E(X)E(Y)\\ &=\frac{2}{3}-\frac{5}{9}\cdot\frac{11}{9}=-\frac{1}{81}\end{align*}

3,协方差的性质:

(1)\(\text{Cov}(aX,bY)=ab\text{Cov}(X,Y)\);

(2)\(\text{Cov}(X+Y,Z)=\text{Cov}(X,Y)+\text{Cov}(Z,Y)\);

(3)若 \(X,Y\) 独立,则 \(\text{Cov}(X,Y)=0\)。

这些性质可以由协方差的定义以及期望的性质证明。