随机变量的分布函数

我们用随机变量的概率来定义一个函数,这就是随机变量的分布函数。它的定义为 \(F(x)=P(X\le x)\),这样定义的函数就是一个普通的函数,从而我们可以用微积分的理论来处理随机变量的相关问题。

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例1,设 \(X\) 的分布律为
\begin{array}{c|cccc}X&1&2&3&4\\ \hline p&\frac{1}{4}&\frac{1}{2}&\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\end{array}

求 \(X\) 的分布函数。

解: 由分布函数的定义,

\begin{align*}x<1, & F(x)=P(X\le x)=0\\ 1\le x<2,& F(x)=P(X\le x)=P(X=1)=\frac{1}{4}\\ 2\le x<3,& F(x)=P(X\le x)=P(X=1)+P(X=2)=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\\ 3\le x<4,&F(x)=P(X\le x)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=\frac{7}{8}\\ x\ge 4,&F(x)=P(X\le x)=1\end{align*}

所以

\[F(x)=\begin{cases}0,& x<1\\ \frac{1}{2},&1\le x<2\\ \frac{3}{4},& 2\le x<3\\ \frac{7}{8},& 3\le x<4\\ 1,&x\ge 4\end{cases}

2,分布函数的性质:

(1)分布函数是右连续函数,\(\displaystyle\lim_{x\to a^+}F(x)=f(a)\);

(2)分布函数是不减函数,即若 \(x_2>x_1\),则 \(F(x_2)\ge F(x_1));

(3)\(F(-\infty)=0, F(\infty)=1\)。

(4)与概率的关系:\(F(x)=P(X\le x)\),所以

\[P(x_1<X\le x_2)=F(x_2)-F(x_1)\]

例2,设 \(X\) 的分布律为

\begin{array}{c|cccccc}X&1&2&3&4&5&6\\ \hline p&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{array}

求 \(X\) 的分布函数。

解:与之前方法一样,我们有

\[F(x)=\begin{cases}0,&x<1\\ \frac{1}{6},&1\le x<2\\ \frac{1}{3},& 2\le x<3\\ \frac{1}{2},& 3\le x<4\\ \frac{2}{3},& 4\le x<5\\ \frac{5}{6},& 5\le x<6,\\ 1,& x\ge 6\end{cases}\]