连续型随机变量及其概率密度

连续型随机变量,指的是它的取值不是有限的,也不是可数,而是在一个连续的区间里,所以我们称这为连续型随机变量。另外,连续型随机变量也可以用分布函数来定义。如果它的分布函数可以用一个变上限积分来表示,那么这样的随机变量称之为连续型随机变量。而被积分函数称之为随机变量的概率密度。

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1,等车的时间:公交车每 5 分钟一趟,某人随机地到达公交车站,问他等车时间的分布。这是一个典型的连续型随机变量,等车的时间可以取区间 \([0,5]\) 之间的任一数。

2,连续型随机变量:若随机变量的分布函数 \(F(x)\) 可以用一个定积分表示

\[F(x)=\inf_{-\infty}^xf(t)dt, f(t)\ge 0\]

则我们称这样的随机变量为连续型随机变量,\(f(x)\) 称为连续型随机变量的概率密度,或者密度函数。

3,概率密度的性质:

(1)\(f(x)\ge 0\):

(2)\(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1\);

(3)\(P(x_1<X\le x_2)=\int_{x_1}^{x_2}f(x)dx\)。因为函数在单点处的积分为 \(0\),所以前面不等式里的不等号里面有没有等号,概率都是一样的,也就是

\[P(x_1<X\le x_2)=\int_{x_1}^{x_2}f(x)dx,\quad P(x_1\le X\le x_2)=\int_{x_1}^{x_2}f(x)dx\]

\[P(x_1<X< x_2)=\int_{x_1}^{x_2}f(x)dx\quad P(x_1\le X<x_2)=\int_{x_1}^{x_2}f(x)dx\]

例1,设连续型随机变量 \(X\) 的概率密度为

\[f(x)=\begin{cases}kx,&0\le x<3\\ 2-\frac{x}{2},&3\le x\le 4\\ 0, &\text{ 其它}\end{cases}\]

求(1)\(k\);(2)\(F(x)\);(3)\(P(1\le X\le\frac{7}{2})\)。

解:(1)因为\(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1\),所以

\begin{align*}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx&=\int_0^3kxdx+\int_3^4\left(2-\frac{x}{2}\right)dx\\ &=\frac{kx^2}{2}\Big|_0^3+\left(2x-\frac{x^2}{4}\right)\Big|_3^4\\ &=\frac{9k}{2}+\frac{1}{4}=1\end{align*}

所以 \(\displaystyle \frac{9}{2}k=\frac{3}{4}, k=\frac{1}{6}\)。所以

\[f(x)=\begin{cases}\frac{1}{6}x,&0\le x<3\\ 2-\frac{x}{2},&3\le x\le 4\\ 0, &\text{ 其它}\end{cases}\]

(2)由定义 \(\displaystyle F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt\),当 \(x<0\) 时,

\[F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt=\int_{-\infty}^x0dt=0\]

当 \(0\le x<3\) 时,

\begin{align*}F(x)&=\int_{-\infty}^xf(t)dt=\int_{-\infty}^0f(t)dt+\int_0^xf(t)dt\\ &=0+\int_0^x\frac{1}{6}tdt=\frac{t^2}{12}\Big|_0^x\\ =\frac{x^2}{12}\end{align*}

当 \(3\le x\le 4\) 时,

\begin{align*}F(x)&=\int_{-\infty}^xf(t)dt=\int_{-\infty}^0f(t)dt+\int_0^3f(t)dt+\int_3^xf(t)dt\\ &=0+\int_0^3\frac{1}{6}tdt+\int_3^x\left(2-\frac{t}{2}\right)dt=\frac{t^2}{12}\Big|_0^3+\left(2x-\frac{x^2}{4}\right)\Big|_3^x\\ &=\frac{3}{4}+2x-\frac{x^2}{4}-6+\frac{9}{4}\\ &=2x-\frac{x^2}{4}-3\end{align*}

当 \(x> 4\) 时,\(F(x)=1\)。

所以

\[F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\ \frac{x^2}{12},& 0\le x<3\\ 2x-\frac{x^2}{4}-3,&3\le x\le 4\\ 1,& x>4\end{cases}\]

(3)求概率可以用两种方法来求,第一种用概率密度求积分

\begin{align*}P(1\le X\le\frac{7}{2})&=\int_1^{\frac{7}{2}}f(x)dx\\ &=\int_1^3\frac{x}{6}dx+\int_3^{\frac{7}{2}}\left(2x-\frac{x}{2}\right)dx\\ &=\frac{x^2}{12}\Big|_1^3+\left(2x-\frac{x^2}{4}\right)\Big|_3^{\frac{7}{2}}\\ &=\frac{41}{48}\end{align*}

第二种方法,直接利用求出来的分布函数求概率。

\[P(1\le X\le\frac{7}{2})=F(\frac{7}{2})-F(1)=2\cdot\frac{7}{2}-\frac{1}{4}\left(\frac{7}{2}\right)^2-\frac{1}{12}=\frac{41}{48}\]