连续型随机变量函数的分布

连续型随机变量函数的分布的求法,通常是采用分布函数的定义的方法。我们将分布函数 \(F(y)=P\{g(X)\le y\}\) 变形,将它化成关于 \(X\) 的分布函数,然后对 \(y\) 求导,就得到了 \(Y\) 的概率密度。

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我们用例题说明这种方法。

例1,设随机变量 \(X\) 的概率密度为

\[f_X(x)=\begin{cases}\frac{x}{8},&0<x<4\\ 0, &\text{其它}\end{cases}\]

求 \(Y=2X+8\) 的概率密度。

解:我们用分布函数的定义来推导概率密度。因为

\begin{align*}F_Y(y)&=P(Y\le y)=P(2X+8\le y)\\&=P\left(X\le \frac{y-8}{2}\right)=F_X\left(\frac{y-8}{2}\right)\end{align*}

由分布函数与概率密度之间的关系,并且应用复合函数求导法则,

\begin{align*}f_Y(y)&=F’_Y(y)=(F_x(\frac{y-8}{2}))’\\ &=f_X(\frac{y-8}{2})\cdot\frac{1}{2}\\ &=\begin{cases}\frac{1}{8}\cdot \frac{y-8}{2},&0<\frac{y-8}{2}<4\\ 0, &\text{其它}\end{cases}\\ &=\begin{cases}\frac{y-8}{16},&8<y<16\\ 0, &\text{其它}\end{cases}\end{align*}

当然, 我们也可以通过 \(X\) 的分布函数求出 \(Y\) 的分布函数。因为

\[F_X(x)=\begin{cases}0,&x\le0\\ \frac{x^2}{16},&0<x<4\\ 1,&x\ge 4\end{cases}\]

所以 \begin{align*}F_Y(y)&=F_X\left(\frac{y-8}{2}\right)\\ &=\begin{cases}0,&\frac{y-8}{2}\le0\\ \frac{1}{16}\cdot\left(\frac{y-8}{2}\right)^2,&0<\frac{y-8}{2}<4\\ 1,&\frac{y-8}{2}\ge 4\end{cases}\\ &==\begin{cases}0,&y\le8\\ \frac{1}{64}(y-8)^2,&8<y<16\\ 1,&y\ge 16\end{cases}\end{align*}

例2,设 \(X\) 服从区间 \((0,1)\) 上的均匀分布,求(1)\(Y=e^X\);(2)\(Y=-2\ln X\) 的概率密度。

解:我们知道\[f_X(x)=\begin{cases}1,&0< x< 1\\ 0,&\text{其它}\end{cases}\]

(1)\(Y=e^X\),

\begin{align*}F_Y(y)&=P(Y\le y)=P(e^X\le y)=P(X\le \ln y)=F_X(\ln y)\end{align*}

所以

\begin{align*}f_Y(y)&=F’_Y(y)=(F_X(\ln y))’\\ &=f_X(\ln y)\frac{1}{y}\\ &=\begin{cases}\frac{1}{y},&0< \ln y<1\\ 0,&\text{其它}\end{cases}\\ &=\begin{cases}\frac{1}{y},&1< y< e\\ 0,&\text{其它}\end{cases}\end{align*}

(2)\(Y=-2\ln X\),

\begin{align*}F_Y(y)&=P(Y\le y)=P(-2\ln X\le y)\\ =P(X\ge e^{-\frac{y}{2}})=1-P(X< e^{-\frac{y}{2}})\\ &=1-F_X\left(e^{-\frac{y}{2}}\right)\end{align*}

所以

\begin{align*}f_Y(y)&=F’_Y(y)=(1-F_X\left(e^{-\frac{y}{2}}\right))’\\ &=\frac{1}{2}e^{-\frac{y}{2}}f_X\left(e^{-\frac{y}{2}}\right)\\ &=\begin{cases}\frac{1}{2}e^{-\frac{y}{2}},&0< e^{-\frac{y}{2}}<1\\ 0,&\text{其它}\end{cases}\\ &=\begin{cases}\frac{1}{2}e^{-\frac{y}{2}},&y>0\\ 0,&y\le 0\end{cases}\end{align*}

跟之前的例题一样,我们也可以通过 \(X\) 的分布函数求出 \(Y\) 的分布函数。