离散型随机变量

所谓的离散型随机变量,是指的随机变量的取值为有限个或者可列个(可数个)。对于离散型随机变量,我们可以把它取各个值的概率一一列出来,这样的列表或者表达式叫做离散型随机变量的分布律。

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1,离散型随机变量的分布律:\(P(X=x_i)=p_i, i=1,2,\cdots,n\),也就是列出所有随机变量取值的概率,这就是离散型随机变量的分布律。

因为离散型随机变量取有限值或者可数个值,我们通常将所有取值的概率用一张表列出来,也称为离散型随机变量的分布律。

\begin{array}{l|llll}X&x_1&x_2&\cdots&x_n\\ \hline p&p_1&p_2&\cdots&p_n\end{array}

例1,将一粒骰子掷两次,求两次点数之和的分布。

解:令 \(X:\) 两次点数之和,那么 \(X\) 的分布律为

\begin{array}{l|lllllllllll}X&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline p&\frac{1}{36}&\frac{1}{18}&\frac{1}{12}&\frac{1}{9}&\frac{5}{36}&\frac{1}{6}&\frac{5}{36}&\frac{1}{9}&\frac{1}{12}&\frac{1}{18}&\frac{1}{36}\end{array}

例2,设汽车开往目的地要通过 4 组信号灯,每灯以 \(\frac{1}{2}\) 的概率为通过和不通过,设 \(X\) b为汽车停下时,已经通过的信号灯的组数,求 \(X\) 的分布律。

解:可以知道 \(X\) 的所有取值为 \(0,1,2,3,4\)。\(X=0\) 表示汽车在第一个路口就停了下来,它的概率为 \(\frac{1}{2}\)。

\(X=1\) 表示通过了第一个路口,在第二个路口停了下来,它的概率为 \(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\)。依此类推。

\(X=4\) 表示所有的路口都通过了,它的概率为 \(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{16}\)。

用表格给出来

\begin{array}{l|lllll}X&0&1&2&3&4\\ \hline p&\frac{1}{2}&\frac{1}{4}&\frac{1}{8}&\frac{1}{16}&\frac{1}{16}\end{array}

例3,设射击手每次击中目标的概率为 \(0.7\),现对目标进行射击,击中即止,求射击的次数的分布。

解:设 \(X\) 表示射击的次数,则 \(X\) 可取值 \(1,2,\cdots\)。由题意,\(X=n\) 表示前面 \(n-1\) 次没有射中,第 \(n\) 次射中,所以

\[P(X=n)=0.3^{n-1}\cdot 0.7\]

用表格表示,

\begin{array}{l|ccccc}X&1&2&\cdots&n&\cdots\\ \hline p&0.7&0.3\cdot0.7&\cdots&0.3^{n-1}\cdot 0.7&\cdots\end{array}