离散型随机变量函数的分布

如果 \(Y=g(X)\),而且\(X\) 是一个离散型随机变量,那么 \(Y\) 也是一个离散型随机变量,它有它自身的分布。这里我们讲解如何求离散型随机变量函数的分布律。

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1,随机变量的函数:\(Y=g(X)\) 也是一个随机变量。这里 \(y=g(x)\) 是一个连续函数。

2,若 \(X\) 是离散型的,则 \(Y=g(X)\) 也是离散型的。

3,\(Y\) 的分布律可以这样求:设 \(y_i=g(x_i)\),则 \[P(Y=y_i)=P(g(X)=y_i)=P(X=x_i)=p_i\]

也就是说,\(Y\) 的概率分布为它所对应的 \(X\) 的概率分布。只是需要注意的一点就是,如果有几个 \(x_i\) 对应一个 \(y_i\) 的话,需要将它们的概率加起来。

例1,设 \(X\) 的分布律为

\begin{array}{c|cccc}X&-1&0&1&2\\ \hline p&0.2&0.3&0.1&0.4\end{array}

求 (1)\(Y=X^2\);(2)\(Y=(X-1)^2\) 的分布律。

解:(1)\(Y=X^2\),

\begin{array}{c|cccc}X&-1&0&1&2\\ \hline Y&1&0&1&4\\ \hline p&0.2&0.3&0.1&0.4\end{array}

因为 \(Y=1\) 对应两个 \(X\) 的值,需要将它们的概率加起来,所以 \(Y\) 的分布律为

\begin{array}{c|ccc}Y&0&1&4\\ \hline p&0.3&0.3&0.4\end{array}

(2)\(Y=(X-1)^2\),

\begin{array}{c|cccc}X&-1&0&1&2\\ \hline Y&4&1&0&1\\ \hline p&0.2&0.3&0.1&0.4\end{array}

这里 \(Y=1\) 也是对应两个 \(X\) 的值,将它们的概率加起来就是 \(Y=1\) 的概率,

\begin{array}{c|ccc}Y&0&1&4\\ \hline p&0.1&0.7&0.2\end{array}

例2,设 \(X\) 的分布律为

\begin{array}{c|cccc}X&0&\frac{\pi}{2}&\pi&2\pi\\ \hline p&\frac{1}{2}&\frac{1}{3}&\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\end{array}

求 (1)\(Y=\sin X\);(2)\(Y=\cos X\) 的分布律。

解:(1)\(Y=\sin X\) ,

\begin{array}{c|cccc}X&0&\frac{\pi}{2}&\pi&2\pi\\ \hline Y&0&1&0&0\\ \hline p&\frac{1}{2}&\frac{1}{3}&\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\end{array}

所以 \(Y=\sin X\) 的分布律为

\begin{array}{c|cc}Y&0&1\\ \hline p&\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{array}

(2)\(Y=\cos X\),

\begin{array}{c|cccc}X&0&\frac{\pi}{2}&\pi&2\pi\\ \hline Y&1&0&-1&1\\ \hline p&\frac{1}{2}&\frac{1}{3}&\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\end{array}

所以\(Y=\cos X\) 的分布律为

\begin{array}{c|cc}Y&-1&0&1\\ \hline p&\frac{1}{12}&\frac{1}{3}&\frac{7}{12}\end{array}