均匀分布与指数分布

均匀分布与指数分布是两种常见的连续型随机变量。这里我们给出均匀分布与指数分布的概率密度,以及它们的分布函数。

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1,均匀分布:我们记区间\([a,b]\) 上的均匀分布为 \(X\sim U(a,b)\)。

(1)概率密度:区间 \([a,b]\) 上的均匀分布,其概率密度为

\[f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a},& a\le x\le b\\ 0,&\text{其它}\end{cases}\]

(2)分布函数:由分布函数的定义,不难求得它的分布函数为

\[F(x)=\begin{cases}0,&x<a\\ \frac{x-a}{b-a},& a\le x\le b\\ 1,&x>b\end{cases}\]

(3)概率:均匀分布的随机变量,落在某个子区间上的概率与区间的长度成比例,所以我们称这样的分布为均匀分布。

例1,设 \(X\) 服从 \([0,10]\) 上的均匀分布,求 (1)\(P(X<3)\);(2)\(P(X>6);(3)\(P(3<X<8)\)。

解:由均匀分布的分布函数

\[F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\ \frac{x}{10},& 0\le x\le 10\\ 1,&x>10\end{cases}\] 可得

\[P(X<3)=F(3)=\frac{3}{10},\quad P(X>6)=F(10)-F(6)=1-\frac{6}{10}=\frac{2}{5}\]

以及\[P(3<X<8)=F(8)-F(3)=\frac{1}{2}\]

我们可以看出,这里的概率就是区间的长度在整个区间长度中的占比。这就是均匀分布的意义。

2,指数分布:若 \(X\) 服从参数为 \(\lambda\) 的指数分布,记为 \(X\sim E(\lambda)\),则

(1)概率密度为 \[f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},&x\ge 0\\ 0,&x<0\end{cases}\]

(2)分布函数为

\[F(x)=\begin{cases}1- e^{-\lambda x},&x\ge 0\\ 0,&x<0\end{cases}\]

例2,某种灯泡的寿命服从参数为 \(\frac{1}{5000}\) 的指数分布,求这种灯泡寿命在 \(10000\) 小时以上的概率。

解:因为

\begin{align*}P(X\ge 10000)&=1-P(x<10000)=1-F(10000)\\ &=1-(1-e^{\frac{10000}{5000}})=e^{-2}\end{align*}