几何分布与负二项式分布

几何分布的模型是这样的:如果每次试验成功的概率为 \(p\),那么我们重复进行这样的试验,直到成功一次为止,那么试验次数的分布服从几何分布。如果稍微对它的改动一下:直到成功 \(k\) 次,那么试验次数就服从负二项式分布。

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1,几何分布:试验成功即止,那么试验次数的分布服从几何分布

\[P(X=n)=(1-p)^{n-1}p, n=1,2,\cdots\]

这里 \(p\) 是每次试验成功的概率。

2,负二项分布:成功 \(k\) 次即止,则试验次数服从负二项分布

\[P(X=n)=C_{n-1}^{k-1}(1-p)^{n-k}p^k, n=k,k+1\cdots\]

我们可以这样推导:前面 \(n-1\) 次中,成功 \(k-1\) 次,失败 \(n-1-(k-1)=n-k\) 次,所以概率为 \(C_{n-1}^{k-1}p^{k-1}(1-p)^{n-k}\),而最后一次成功,所以试验 \(n\) 次的概率为\[P(X=n)=C_{n-1}^{k-1}(1-p)^{n-k}p^k\]

例1,一射击手击中目标的概率为 \(0.7\),现重复射击,问(1)击中即止;(2)击中 5 次即止,求射击次数的分布。

解:(1)这是几何分布,所以

\[P(X=n)=0.7^{n-1}0.3\]

(2)这里负二项分布,所以

\[P(X=n)=C_{n-1}^40.7^50.3^{n-5}\]

例2,袋中有 6 个红球,4 个白球,每次取一个,放回,问(1)取到一次白球即止;(2)取到 3 次白球即止。设 \(X\) 为取球次数,求 \(X\) 的分布律。

解:(1)每次取到白球的概率为 \(0.4\),所以

\[P(X=n)=0.6^{n-1}0.4, n=1,2,\cdots\]

(2)取到 3 次即止,

\[P(X=n)=C_{n-1}^{2}0.4^30.6^{n-3}, n=3,4,\cdots\]