两点分布和二项式分布

最常见的离散型随机变量就是二项式分布。我们将独立重复试验重复 \(n\) 次,每次的结果只有两种,那么出现其中一种情况的次数就服从二项式分布。如果只做一次试验,就是两点分布。

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1,两点分布(0-1 分布):随机变量只取两个值 \(0,1\),则称随机变量服从两点分布,或者 \(0-1\) 分布。

如果随机试验的结果只有两种,成功的概率为 \(p\),记“成功” 为 \(1\),“失败” 为 \(0\),则随机变量的分布就是两点分布。它的分布律为

\begin{array}{c|cc}X&0&1\\ \hline p&1-p&p\end{array}

2,伯努利试验:随机试验只有两种结果 \(A, \bar{A}\)(成功,失败);

\(n\) 重伯努利试验:将伯努利试验独立重复 \(n\) 次。

3,二项式分布:在 \(n\) 重伯努利试验中,事件 \(A\) 出现的次数(成功的次数),记为 \(X\),若每次成功的概率为 \(p\),则 \(X\)的分布

\[P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k},\quad C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}\]

4,二项式分布的推导:从 \(n\) 次试验中选取 \(k\) 次,那么选取的方法有 \(C_n^k\) 种。这 \(k\) 次都是成功,概率为 \(p^k\),剩下的 \(n-k\) 为不成功,概率为 \((1-p)^{n-k}\) 次。所以

\[P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k},\quad C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}\]

因为二项式定理

\[(a+b)^n=\sum_{k=1}^nC_n^ka^{n-k}b^k\]

里的系数是 \(C_n^k\),所以我们称 \(n\) 重伯努利试验的分布为二项式分布。

例1,设一射击手每次击中目标的概率为 \(0.7\),今进行 \(10\) 次射击,问正好击中 \(7\) 次的概率是多少?

解:这显然是二项式分布,所以

\begin{align*}P(X=7)&=C_{10}^70.7^70.3^3=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7}\cdot0.7^3\cdot0.3^3\\ &=120\cdot0.7^3\cdot0.3^3=0.2668\end{align*}

例2,设有一批灯泡,使用寿命在 \(5\) 万小时以上的概率 为 \(0.4\)。现有 |(20\) 只这样的灯泡,求使用了 \(5\) 万小时以上,还有 \(8\) 只可以正常使用的概率。

解:我们可以认为每个灯泡的寿命是一个伯努利试验,那么这个问题就是一个 \(20\) 重的伯努利试验。所以

\begin{align*}P(X=8)&=C_{20}^80.4^80.6^{12}\end{align*}

例3,一批产品,一级品率为 \(0.2\),现取 \(5\) 只,求取一级品的产品数和的分布律。

解:令 \(X\) 为取到一级品的个数。则

\begin{array}{c|cccccc}X&0&1&2&3&4&5\\ \hline p&0.8^5&C_5^10.8^40.2&C_5^20.8^30.2^2&C_5^30.8^20.2^3&C_5^40.8\cdot0.2^4&0.2^5\end{array}