正态总体的抽样分布

这里我们叙述正态总体的样本均值与样本方差的抽样分布,这些结果我们在参数估计与假设检验部分要用到。

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设总体 服从 \(N(\mu,\sigma^2)\) 的正态分布,则

1,样本均值的分布:\(\displaystyle\bar{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\);

2,方差的分布:(1)\(\displaystyle\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)\);

(2)\(\bar{X}\) 与 \(S^2\) 相互独立。

3,\(\displaystyle\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)\)

4,设 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 为来自于 \(N(\mu_1,\sigma_1^2)\) 的总体,\(Y_1,Y_2,\cdots,Y_n\) 为来自于 \(N(\mu_2,\sigma_2^2)\) 的总体,且这两个样本相互独立,则

(1)\(\displaystyle\frac{S_1^2/S_2^2}{\sigma_1^2/\sigma_2^2}\sim F(n_1-1, n_2-1)\);

(2)\(\displaystyle\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{\{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2\}}\sim t(n_1+n_2-2)\)

这些都是以后参数估计与假设检验要用到的抽样分布。这些结论的证明都不简单,我们略过。