常用统计量

统计量是不含任何未知参数的关于样本的函数。统计量是用来对总体进行研究的函数。常见的统计量有:样本均值,样本方差,样本标准差,样本原点矩与样本中心矩等等。

笔记下载:常用统计量

1,样本函数:设 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 为一组样本,函数 \(g(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 称为样本函数。

2,统计量:不含任何未知量的样本函数 \(g(x_1,x_2,\cdots,x_n)\),称为统计量。

3,常见的统计量:

(1)样本均值:\(\displaystyle\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\);

(2)样本方差:\(\displaystyle s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2\);

(3)样本标准差:\(s\sqrt{s^2}\);

(4)样本的 \(k\) 阶原点矩:\(A_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^k\);

(5)样本的 \(k\) 阶中心矩:\(A_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^k\);

4,样本均值的分布:

(1)\(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 来自于正态总体 \(N(\mu,\sigma^2)\) 的样本,则

\[\bar{x}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\]

(2)\(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 来自于非正态总体的样本,\(E(X)=\mu, D(X)=\sigma^2\)则 \(\bar{x}\) 近似服从于 \(N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\)(中心极限定理)。

由期望和方差的性质可直接证明。