三大抽样分布

在统计推断中,我们常用的有三个抽样分布:卡方分布,t 分布和 F 分布,这三个分布常用来推断正态总体的参数。

笔记下载:三大抽样分布

1,抽样分布:统计量的分布称为抽样分布。

2,\(\chi^2\)分布(卡方分布):设 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 为来自于 \(N(0,1)\) 的总体的一组样本,则

\[\chi^2=X_1+X_2+\cdots+X_n\]

服从自由度为 \(n\) 的 \(\chi^2\) 分布,记为 \(\chi^2\sim \chi^2(n)\)。

性质:(1)可加性:\(\chi_1^2\sim \chi^2(n_1), \chi^2\sim \chi^2(n_2)\),则\[\chi_1^2+\chi_2^2\sim \chi^2(n_1+n_2)\]

(2)\(E(\chi^2)=n, D(\chi^2)=2n\)

\(\chi^2\) 分布常用来推断正态总体的方差。

3,上\(\alpha\) 分位点:若 \(P(\chi^2>\chi_{\alpha}^2)=\alpha\),称 \(\chi_{\alpha}^2\) 为 \(\chi^2\) 分布的上 \(\alpha\) 分位点。

4,\(t\) 分布:设 \(X\sim N(0,1), Y\sim \chi^2(n)\),而 \(X,Y\) 相互独立,则

\[t=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}\]

服从自由度为 \(n\) 的 \(t\) 分布。

注意:\(n\) 越大,\(t\) 分布越接近于正态分布。它常用来推断正态总体的均值情况。

5,\(F\) 分布:设 \(\displaystyle U\sim \chi^2(n_1), V\sim \chi^2(n)2)\),则

\[F=\frac{U/n_1}{V/n_2}\]

服从自由度为 \(n_1,n_2\) 的 \(F\) 分布。\(F\) 分布常用来推断两个总体的方差情况。