中心极限定理举例

我们举例说明了如何应用中心极限定理来计算或估计随机事件的概率。

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我们先把几个中心极限定律叙述一下:

1,独立同分布的中心极限定理:若 \(X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots\) 为独立同分布的随机变量序列,\(E(X_i)=\mu, D(X_i)=\sigma^2, i=1,2,\cdots\),则

\[Y_n=\frac{\sum_{i=1}^nX_i-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\]

以标准正态分布为极限,即

\[\lim_{n\to\infty}P\left\{\frac{\sum_{i=1}^nX_i-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\le x\right\}=\Phi(x)\]

2,李雅普诺夫中心极限定理:设 \(X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots\) 为随机变量序列,各自具有期望 \(E(X_i)=\mu_i, D(X_i)=\sigma_i^2\),则

\[Y_n=\frac{\sum_{i=1}^nX_i-\sum_{i=1}^n\mu_i}{\sqrt{\sum_{i=1}^n\sigma_i^2}}\]

以正态分布为极限,即

\[\lim_{n\to\infty}P\left\{\frac{\sum_{i=1}^nX_i-\sum_{i=1}^n\mu_i}{\sqrt{\sum_{i=1}^n\sigma_i^2}}\le x\right\}=\Phi(x)\]

3,棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理:设 \(X_n\) 为服从二项式分布 \(X\sim B(n,p)\) 的随机变量序列,则

\[Y_n=\frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\]

以正态分布为极限,即

\[\lim_{n\to\infty}P\left\{\frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\le x\right\}=\Phi(x)\]

或者

\[\lim_{n\to\infty}P\left\{\frac{\frac{1}{n}X_n-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\le x\right\}=\Phi(x)\]

例1,掷一粒骰子 \(100\) 次,记第 \(i\) 次掷出的点数为 \(X_i, 1\le i\le 100\),点数之平均为 \(\displaystyle \bar{X}=\frac{1}{100}\sum_{i=1}^{100}X_i\)。试求概率 \(P(3\le \bar{X}\le 4)\)。

解:我们有

\[E(X_i)=\frac{1}{6}(1+2+3+4+5+6)=\frac{7}{2}\]

\begin{align*}D(X_i)&=\frac{1}{6}(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2)-\left(\frac{7}{2}\right)^2\\ &=\frac{91}{6}-\frac{49}{4}=\frac{35}{12}\end{align*}

由此可以得到 \(\bar{X}\) 的期望与方差,

\[E(\bar{X})=\frac{1}{100}\sum_{i=1}^{100}E(X_i)=\frac{7}{2}\]

\begin{align*}D(\bar{X})&=D\left(\frac{1}{100}\sum_{i=1}^{100}D(X_i)\right)\\ &=\frac{1}{100^2}\cdot 100\cdot\frac{35}{12}=\frac{35}{1200}\end{align*}

由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理

\begin{align*}P(3\le \bar{X}\le 4)&=P\left\{\frac{3-\frac{7}{2}}{\sqrt{35/1200}}\le \frac{\bar{X}-\frac{7}{2}}{\sqrt{35/1200}}\le\frac{4-\frac{7}{2}}{\sqrt{35/1200}}\right\}\\ &=P\left\{\frac{-0.5\cdot\sqrt{1200}}{\sqrt{35}}\le \frac{\bar{X}-\frac{7}{2}}{\sqrt{35/1200}}\le\frac{0.5\cdot\sqrt{1200}}{\sqrt{35}}\right\}\\ &=P\left\{\frac{-10\sqrt{3}}{\sqrt{35}}\le \frac{\bar{X}-\frac{7}{2}}{\sqrt{35/1200}}\le\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{35}}\right\}\\ &=P\left\{-2.93\le \frac{\bar{X}-\frac{7}{2}}{\sqrt{35/1200}}\le2.93\right\}\\ &\approx \Phi(2.93)-\Phi(-2.93)=2\Phi(2.93)-1=0.9966\end{align*}

例2,一复杂系统由 \(100\) 个相互独立的部件组成,每个部件正常工伯的概率为 \(0.9\),已知整个系统中至少有 \(85\) 个部件正常工作,系统才能正常工作,试求系统能够正常工作的概率。

解:记 \(Y_n\) 为正常工作的部件数,则 \(Y_n\sim B(100,0.9)\),\(E(Y_n)=np=90\),\(D(Y_n)=np(1-p)=9\)。我们要求的是 \(P(Y_n\ge 85)\)。

根据中心极限定理

\begin{align*}P\left\{Y_n\ge 85\right\}&=P\left\{\frac{Y_n-90}{3}\ge \frac{85-90}{3}\right\}\\ &=1-P\left\{\frac{Y_n-90}{3}\le \frac{85-90}{3}\right\}\\ &=1-P\left\{\frac{Y_n-90}{3}\le \frac{-5}{3}\right\}\\ &=1-P\left\{\frac{Y_n-90}{3}\le -1.67\right\}\\ &\approx 1-\Phi(-1.67)=\Phi(1.67)=0.9525\end{align*}