连续型随机变量的边缘分布

二维连续型随机变量的边缘分布,可以用边缘密度来定义。对联合概率密度将其中一个变量从负无穷大到正无穷大积分,就得到另一个变量的边缘密度。

笔记下载:连续型随机变量的边缘分布1

1,边缘分布:我们知道二维随机变量的边缘分布为

\[F_X(x)=P(X\le x)=P(X\le x, Y<\infty)=F(x,+\infty)\]

\[F_Y(y)=P(Y\le y)=P(X<\infty,Y\le y,)=F(+\infty,y)\]

2,连续型随机变量:若 \((X,Y)\) 为二维连续型随机变量,\((X,Y)\) 的联合概率密度为 \(f(x,y)\),则边缘分布函数与边缘概率密度为

\begin{align*}F_X(x)&=P(X\le x, Y<\infty)=\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dydx\\ f_X(x)&=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy\end{align*}

\begin{align*}F_Y(y)&=P(X<\infty,Y\le y)=\int_{-\infty}^y\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dxdy\\ f_Y(y)&=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dx\end{align*}

例1,设 \((X,Y)\) 的联合概率密度为

\[f(x,y)=\begin{cases}2e^{-(2x+y)},&x\ge 0,y\ge 0\\ 0,&\text{其它}\end{cases}\]

求 \(X,Y\) 的边缘概率密度。

解:\begin{align*}f_X(x)&=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy\end{align*}

当 \(x<0\) 时,\(f(x,y)=0\),所以 \(F_X(x)=0\);

当 \(x\ge 0,y\ge 0\) 时,\(f(x,y)=2e^{-(2x+y)}\),所以

\begin{align*}f_X(x)&=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy=\int_0^{\infty}2e^{-(2x+y)}dy\\ &=e^{-2x}\int_0^{\infty}e^{-y}dy=e^{-2x}(-e^{-x})\Big|_0^{\infty}\\ &=2e^{-2x}\end{align*}

同理, \(y<0\) 时,\(f_Y(y)=0\);\(y\ge 0\) 时,

\begin{align*}f_Y(y)&=\int_{0}^{\infty}2e^{-(2x+y)}dx\\ &=e^{-x}\int_0^{\infty}2e^{-2x}dx\\ &=e^{-x}(2e^{-2x})\Big|_0^{\infty}\\ &=e^{-x}\end{align*}

总结起来,可以得到

\[f_X(x)=\begin{cases}e^{-2x},&x\ge 0\\ 0&,x<0\end{cases}\]

\[f_Y(y)=\begin{cases}e^{-x},&y\ge 0\\ 0&,y<0\end{cases}\]

注意到, 在这个例子里,\(f(x,y)=f_x(x)\cdot f_Y(y)\),这不是偶然的,这是我们后面要讲的随机变量的独立性的概念。

例2,设 \((X,Y)\) 的联合概率密度为

\[f(x,y)=\begin{cases}6,& x^2\le y\le x\\ 0,&\text{其它}\end{cases}\]

求 \(X,Y\) 的边缘概率密度。

解:概率分布的区域如图:

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\(y=x^2\) 与 \(y=x\) 交于两点 \((0,0), (1,1)\)。

所以若 \(x<0\) 或者 \(x>1\),\(f(x,y)=0\),所以 \(f_X(x)=0\);

若 \(0\le x\le 1\),则

\begin{align*}f_X(x)&=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy=\int_{x^2}^{x}6dy\\ &=6y\Big|_{x^2}^x=6x(1-x)\end{align*}

这里要注意的是,\(y\) 的下限不是 \(0\),上限也不是\(1\)。这是因为对任何的 \([0,1]\) 上的任何一个固定点 \(x_0\),区域内部的 \(y\) 是从 \(y=x_0^2\) 变到 \(y=x_0\),也就是直线 \(x=x_0\) 与区域相交的部分。

总结起来,可以得到 \(X\) 的边缘分布

\[f_X(x)=\begin{cases}6x(1-x),& 0\le x\le 1\\ 0,&\text{其它}\end{cases}\]

同理,若 \(y<0\) 或者 \(y>1\), 则 \(f(x,y)=0\),所以 \(f_Y(y)=0\)。

若 \(0\le y\le 1\), 则

\begin{align*}f_Y(y)&=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy=\int_{y}^{\sqrt{y}}6dx\\ &=6x\Big|_{y}^{\sqrt{y}}=6(\sqrt{y}-y)\end{align*}

所以

\[f_Y(y)=\begin{cases}6(\sqrt{y}-y),&0\le y\le 1\\ 0, &\text{其它}\end{cases}\]