离散型随机变量的边缘分布

我们首先定义二维随机变量的边缘分布的定义。因为二维随机变量中的任一一个变量仍然为随机变量,它有着自身的分布函数,这就是边缘分布的定义。然后对离散型随机变量,我们定义其边缘分布律。

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1,联合分布:我们以前知道二维随机变量 \((X,Y)\) 的联合分布函数为 \[F(x,y)=P(X\le x,Y\le y)\]

而二维随机变量中的每一个变量本身也是随机变量,它们有各自的分布函数,我们称之为随机变量的边缘分布函数。

2,边缘分布函数:\[F_X(x)=P(X\le x)=P(X\le x, Y<\infty)=F(x,+\infty)\]

\[F_Y(y)=P(Y\le y)=P(X< +\infty, Y\le y)=F(+\infty,y)\]

3,离散型随机变量的边缘分布律:

\[p_{i,\cdot}=P(X=x_i)=\sum_jP(X=x_i,Y=y_j)=\sum_jp_{ij}\]

\[p_{\cdot,j}=P(Y=y_j)=\sum_iP(X=x_i,Y=y_j)=\sum_ip_{ij}\]

也就是说,\(P(X=x_i)\) 就是将所有 \(X=x_i\) 的概率 \(P(X=x_i, Y=y_j), j=1,2,\cdots, m\) 加起来。

例1,设 \((X,Y)\) 的联合分布律为

\begin{array}{|c|cccc|}\hline Y\Big{\backslash}X& 1&2&3&4\\ \hline 1&\frac{1}{16}& 0&0&0\\ 2&\frac{1}{16}&\frac{1}{12}&\frac{1}{8}&0\\ 3&\frac{1}{16}&\frac{1}{12}&\frac{1}{8}&0\\ 4&\frac{1}{16}&\frac{1}{12}&\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\\ \hline\end{array}

解:\begin{align*}P(X=1)&=P(X=1, Y=1)+P(X=1, Y=2)\\ &\quad +P(X=1, Y=3)+P(X=1, Y=4)\\ &=\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}\end{align*}

同理,\[P(X=2)=\frac{1}{4},\quad P(X=3)=\frac{1}{4},\quad P(X=4)=\frac{1}{4}\]

我们用表格表示:

\begin{array}{c|cccc}X&1&2&3&4\\ \hline p&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{array}

\(Y\) 的边缘分布律为:

\begin{align*}P(Y=1)&=P(X=1, Y=1)+P(X=2, Y=1)\\ &\quad +P(X=3, Y=1)+P(X=4, Y=1)\\ &=\frac{1}{16}+0+0+0=\frac{1}{16}\end{align*}

同样的计算,

\[P(Y=2)=\frac{7}{48},\quad P(Y=3)=\frac{13}{48},\quad P(Y=4)=\frac{25}{48}\]

用表格表示,

\begin{array}{c|cccc}Y&1&2&3&4\\ \hline p&\frac{1}{16}&\frac{7}{48}&\frac{13}{48}&\frac{25}{48}\end{array}

事实上,可以看出,横栏相加就是 \(Y\) 的分布律(按行相加);纵列相加就是 \(X\) 的分布律(按列相加)。我们可以直接在原表格上添加一行一列,作为这一行的和,那么就直接得到两个变量的边缘分布。因为是在表格的最边上一行或者一列的分布,所以这是“边缘”分布。

这个例题可以这样更直接表示

\begin{array}{|c|cccc|c|}\hline Y\Big{\backslash}X& 1&2&3&4&Y\\ \hline 1&\frac{1}{16}& 0&0&0&\frac{1}{16}\\ 2&\frac{1}{16}&\frac{1}{12}&\frac{1}{8}&0&\frac{7}{48}\\ 3&\frac{1}{16}&\frac{1}{12}&\frac{1}{8}&0&\frac{13}{48}\\ 4&\frac{1}{16}&\frac{1}{12}&\frac{1}{8}&\frac{1}{4}&\frac{25}{48}\\ \hline X&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&1\\ \hline\end{array}

例2,设 \((X,Y)\) 的联合分布律为

\begin{array}{|c|cc|}\hline Y\Big{\backslash}X&1&2\\ \hline 1&\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\\ 2&\frac{1}{8}&\frac{1}{2}\\ \hline\end{array}求 \((X,Y)\) 的边缘分布律。

解:我们求出它们的边缘分布律为

\begin{array}{|c|cc|c|}\hline Y\Big{\backslash}X&1&2&Y\\ \hline 1&\frac{1}{8}&\frac{1}{4}&\frac{3}{8}\\ 2&\frac{1}{8}&\frac{1}{2}&\frac{5}{8}\\ \hline X&\frac{1}{4}&\frac{3}{4}&1\\ \hline\end{array}