相互独立的随机变量

二维随机变量,如果边缘分布函数的乘积等于联合分布函数,则我们称这两个随机变量是相互独立的随机变量。对于离散型随机变量,两随机变量独立,如果连续分布律的积为联合分布律;对于连续型随机变量,两变量独立如果连续密度的积等于联合密度。

笔记下载:相互独立的随机变量

1,两个随机变量相互独立:\(P(AB)=P(A)P(B)\)。

因为二维随机变量中的每一个变量都是随机变量,所以可以定义它们的独立性。

2,若 \(P(X\le x,Y\le Y)=P(X\le x)P(Y\le y)\),也就是

\[F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y)\]

则二维随机变量 \((X,Y)\) 是相互独立的。

3,离散型:若 \(P(X=x_i, Y=y_j)=p_{ij}=P(X=x_i)P(Y=y_j)=p_{i,\cdot}p_{\cdot,j}\),则 \((X,Y)\) 是相互独立的二维随机变量。要注意的是,这里的等式要对所有的 \(i,j\) 成立。若有一对不成立,则它们不是相互的独立的。

4,连续型:若 \(f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)\),则 \((X,Y)\) 是相互独立的二维随机变量。

这是因为,

\begin{align*}F(x,y)&=\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^yf(x,y)dydx\\ &=\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^yf_X(x)\cdot f_Y(y)dydx\\ &=\int_{-\infty}^xf_X(x)dx\cdot\int_{-\infty}^y f_Y(y)dy\\ &=F_X(x)\cdot F_Y(y)\end{align*}

所以 \(X,Y\) 相互独立。

也就是说,只要联合密度等于边缘密度之积,则二维连续型随机变量是相互独立的。

例,设 \((X,Y)\) 的联合分布律为

\begin{array}{c|cc}Y\Big{\backslash}X&0&1\\ \hline 1&\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\ 2&\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\end{array}

问 \(X,Y\) 是否相互独立?

解:\(X,Y\) 的边缘分布律为

\begin{array}{|c|cc|c|}\hline Y\Big{\backslash}X&0&1&P(Y=y_j)\\ \hline 1&\frac{1}{6}&\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\ 2&\frac{1}{6}&\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\ \hline P(X=x_i)&\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&1\\ \hline\end{array}

可以看到

\[P(X=0, Y=1)=\frac{1}{6}=P(X=0)P(Y=1)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\]

\[P(X=0, Y=2)=\frac{1}{6}=P(X=0)P(Y=2)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\]

\[P(X=1, Y=1)=\frac{1}{3}=P(X=1)P(Y=1)=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\]

\[P(X=1, Y=2)=\frac{1}{3}=P(X=1)P(Y=1)=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\]

所以 \(X,Y\) 是相互独立的。

例2,设 \((X,Y)\) 的联合分布律为

\begin{array}{|c|cccc|}\hline Y\Big{\backslash}X& 1&2&3&4\\ \hline 1&\frac{1}{16}& 0&0&0\\ 2&\frac{1}{16}&\frac{1}{12}&\frac{1}{8}&0\\ 3&\frac{1}{16}&\frac{1}{12}&\frac{1}{8}&0\\ 4&\frac{1}{16}&\frac{1}{12}&\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\\ \hline\end{array}

问 \(X,Y\) 是不是相互独立?

解:\(X,Y\) 的边缘分布律为

\begin{array}{|c|cccc|c|}\hline Y\Big{\backslash}X& 1&2&3&4&Y\\ \hline 1&\frac{1}{16}& 0&0&0&\frac{1}{16}\\ 2&\frac{1}{16}&\frac{1}{12}&\frac{1}{8}&0&\frac{7}{48}\\ 3&\frac{1}{16}&\frac{1}{12}&\frac{1}{8}&0&\frac{13}{48}\\ 4&\frac{1}{16}&\frac{1}{12}&\frac{1}{8}&\frac{1}{4}&\frac{25}{48}\\ \hline X&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&1\\ \hline\end{array}

因为 \[P(X=1,Y=1)=\frac{1}{16}, \quad P(X=1)\cdot P(Y=1)=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{16}=\frac{1}{64}\]

所以 \(P(X=1,Y=1)\ne P(X=1)\cdot P()Y=1\),\(X,Y\) 不是相互独立的。

例3,设 \((X,Y)\) 的联合概率密度为

\[f(x,y)=\begin{cases}12xy(1-x),&0<x<1, 0<y<1\\ 0,&\text{其它}\end{cases}\]

问 \(X,Y\) 是否相互独立?

解:\(0<x<1\) 时,

\begin{align*}f_X(x)&=\int_{-\infty}^{\infty}=\int_0^1 12xy(1-x)dy\\ &=6x(1-x)y^2\Big|_0^1=6x(1-x)\end{align*}

其它地方,\(f(x,y)=0\),所以 \(f_X(x)=0\)。

所以

\[f_X(x)=\begin{cases}6x(1-x), &0<x<1\\ 0,&\text{其它}\end{cases}\]

现在来求 \(Y\) 的边缘分布,当 \(0<y<1\) 时,

\begin{align*}f_Y(y)&=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dx=\int_0^112xy(1-x)dx\\ &=y(6x^2-4x^3)\Big|_0^1=2y\end{align*}

其它地方,\(f_Y(y)=0\)。所以

\[f_Y(y)=\begin{cases}2y,&0<y<1\\ 0,&\text{其它}\end{cases}\]

所以 \[f_X(x)\cdot f_Y(y)=\begin{cases}12xy(1-x), &0<x<1, 0<y<1\\ 0,&\text{其它}\end{cases}\]

所以 \(f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)\),\(X,Y\) 相互独立。

例4,设 \((X,Y)\) 的联合密度为

\[f(x,y)=\begin{cases}x+y,& 0<x<1, 0<y<1\\ 0,& 其它\end{cases}\]

问 \(X,Y\) 是否相互独立?

解:\(0<x<1\) 时,

\begin{align*}f_X(x)&=\int_{-\infty}^{\infty}=\int_0^1 (x+y)dy\\ &=xy+\frac{1}{2}y^2\Big|_0^1=x+\frac{1}{2}\end{align*}

其它地方,\(f(x,y)=0\),所以 \(f_X(x)=0\)。

所以

\[f_X(x)=\begin{cases}x+\frac{1}{2}, &0<x<1\\ 0,&\text{其它}\end{cases}\]

现在来求 \(Y\) 的边缘分布,当 \(0<y<1\) 时,

\begin{align*}f_Y(y)&=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dx=\int_0^1(x+y)dx\\ &=(\frac{1}{2}x^2+xy)\Big|_0^1=y+\frac{1}{2}\end{align*}

其它地方,\(f_Y(y)=0\)。所以

\[f_Y(y)=\begin{cases}y+\frac{1}{2},&0<y<1\\ 0,&\text{其它}\end{cases}\]

所以\begin{align*}f_Y(y)&=\begin{cases}(x+\frac{1}{2})(y+\frac{1}{2}),&0<y<1\\ 0,&\text{其它}\end{cases}\\ &=\begin{cases}xy+\frac{1}{2}(x+y)+\frac{1}{4},&0<y<1\\ 0,&\text{其它}\end{cases}\end{align*}

所以 \(f(x,y)\ne f_X(x)\cdot f_Y(y)\),\(X,Y\) 不独立。