二维随机变量

我们先定义二维随机变量的分布函数,然后讨论了二维离散型随机变量以及它的分布律。

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有些随机现象只用一个随机变量去描述是不够的,例如某个地区人群的情况,需要了解人群的身高、体重、教育程度、收入状况等等,这就需要多维随机变量的概念。

1,多维随机变量:若 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 是定义在同一个样本空间的上的随机变量,我们称

\[X=(X_1,X_2,\cdots,X_n)\]

为 \(n\) 维或者 \(n\) 元随机变量,或者随机向量。

我们主要讨论二维的随机变量。

2,二维随机变量的分布函数:对于多维的随机变量,我们也是利用分布函数来更行研究。我们定义 \((X,Y)\) 的联合分布为

\[F(x,y)=P(X\le x, Y\le Y)=P(\{X\le x\}\cap \{Y\le y\})\]

注意到这是两个事件的交事件的概率。

由分布函数的定义,可以得到它的一些性质:

3,联合分布函数的性质:

(1)\(F(+\infty,+\infty)=1\);

(2)\(F(-\infty,-\infty)=0, F(-\infty,y)=0, F(x,-\infty)=0\);

(3)\(P(x_1<X\le x_2, y_1<Y\le y_2)=F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1)\)。

4,离散型二维随机变量:若 \((X,Y)\) 只取有限值或者可数个值,我们称 \((X,Y)\) 为二维离散型随机变量。对于离散型随机变量,我们一般还是利用分布律来研究

\[P(X=x_i, Y=y_j)=p_{ij}\]

例1,设 \(X\) 取 \(1-4\) 中的任意整数值,\(Y\) 取 \(X-4\) 中的任意整数值,求 \((X,Y)\) 的联合分布律。

解:直接计算可得

\begin{array}{ll}P(X=1,Y=1)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{16}&P(X=1,Y=2)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{16}\\ P(X=1,Y=3)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{16}&P(X=1,Y=4)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{16}\\ P(X=2,Y=1)=\frac{1}{4}\cdot0=0& P(X=2,Y=1)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{12}\\P(X=2,Y=3)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{12}&P(X=2,Y=4)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{12} \\ P(X=3,Y=1)=\frac{1}{4}\cdot0=0&P(X=3,Y=2)=\frac{1}{4}\cdot0=0\\ P(X=3,Y=3)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8}&P(X=3,Y=4)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8}\\ P(X=4,Y=1)=\frac{1}{4}\cdot0=0&P(X=4,Y=2)=\frac{1}{4}\cdot0=0 \\ P(X=4,Y=3)=\frac{1}{4}\cdot0=0&P(X=4,Y=4)=\frac{1}{4}\cdot1=\frac{1}{4}\end{array}

用表格来表示\((X,Y)\) 的联合分布律更直观

\begin{array}{c|cccc}Y\Big{\backslash}X& 1&2&3&4\\ \hline 1&\frac{1}{16}&0&0&0\\ 2&\frac{1}{16}&\frac{1}{12}&0&0\\ 3&\frac{1}{16}&\frac{1}{12}&\frac{1}{8}&0\\ 4&\frac{1}{16}&\frac{1}{12}&\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\end{array}