二维随机变量函数的分布:最大值、最小值的分布

我们考虑最大值、最小值函数的分布。跟往常一样,我们采用分布函数的定义的方法来求最大值、最小值的分布。通过分布函数的定义,将最大值、最小值的分布函数转化成原来的随机变量的分布函数,从而求得最大值、最小值函数的分布函数与概率密度。

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1,最大值函数:\(Z=\max\{X,Y\}\)

\begin{align*}F_Z(z)&=P(Z\le z)=P(\max\{X,Y\}\le z)\\ &=P(X\le z,Y\le z)=\int_{-\infty}^z\int_{-\infty}^zf(x,y)dydx\end{align*}

例1,设 \((X,Y)\) 的联合概率密度为

\[f(x,y)=\begin{cases}2e^{-(2x+y)},&x>0,y>0\\ 0&,\text{其它}\end{cases}\]

求 \(Z=\max\{X,Y\}\) 的概率密度。

解:由上面的公式

\begin{align*}F_Z(z)&=\int_{-\infty}^z\int_{-\infty}f(x,y)dydx\end{align*}

当 \(z\le 0\) 时,\(x+y\le 0\) 意味着至少有一个变量小于 \(0\),所以 \(f(x,y)=0\) 从而 \(F_Z(z)=0\)。

当 \(z>0\) 时,

\begin{align*}F_Z(z)&=\int_{-\infty}^z\int_{-\infty}^zf(x,y)dydx\\ &=\int_0^z\int_0^z2e^{-(2x+y)}dydx\\ &=\int_{-\infty}^z2e^{-2x}(-e^{-x})\Big|_0^zdx\\ &=\int_{-\infty}^z2e^{-2x}(1-e^{-z})dx\\ &=(1-e^{-z})(-e^{-2x})\Big|_0^z\\ &=(1-e^{-z})(1-e^{-2z})\\ &=1-e^{-z}-e^{-2z}+e^{-3z}\end{align*}

总结起来

\[F_Z(z)=\begin{cases}1-e^{-z}-e^{-2z}+e^{-3z},&z>0\\ 0,&z\le 0\end{cases}\]

求导就得到了 \(z\) 的概率密度

\[f_Z(z)=\begin{cases}e^{-z}+2e^{-2z}-3e^{-3z}, &z>0\\ 0,&z\le 0\end{cases}\]

2,最小值:\(Z=\min\{Z,Y\}\),则

\begin{align*}F_Z(z)&=P(Z\le z)=P(\min\{X,Y\}\le z)\\ &=P(X\le z\cup Y\le z)=1-P(\overline{X\le z\cup Y\le z})\\ &=1-P(X>x, Y>z)\\ &=\int_z^{\infty}\int_z^{\infty}f(x,y)dydx\end{align*}

例2,设 \((X,Y)\) 的联合概率密度为

\[f(x,y)=\begin{cases}2e^{-(2x+y)},&x>0,y>0\\ 0&,\text{其它}\end{cases}\]

求 \(Z=\min\{X,Y\}\) 的概率密度。

当 \(z\le 0\) 时,\(\min\{X,Y\}\le z\) 表示 \(X,Y\) 至少有一个小于 \(0\),这个概率为 \(0\) 从而 \(F_Z(z)=0\)。

当 \(z>0\) 时,由上面的公式

\begin{align*}F_Z&=1-\int_z^{\infty}\int_z^{\infty}f(x,y)dydx\\&=1-\int_z^{\infty}\int_z^{\infty}2e^{-(2x+y)}dydx\\ &=1-(-e^{-2x})\Big|_z^{\infty}(-e^{-x})\Big|_z^{\infty}\\ &=1-e^{-2z}e^{-z}=1-e^{-3z}\end{align*}

总结起来,有

\[F_Z(z)=\begin{cases}1-e^{-3z},&z>0\\ 0,&z\le 0\end{cases}\]

再求导,得到概率密度

\[f_Z(z)=\begin{cases}3e^{-3z},&z>0\\ 0,& z\le 0\end{cases}\]