二维随机变量函数的分布:商的分布

我们仍然利用随机变量的分布函数的定义来推导随机变量商的分布函数与概率密度。我们首先将随机变量函数的分布通过分布函数的定义化成原随机变量的分布函数,然后求出随机变量函数的分布函数与概率密度。

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1,商的分布:设 \(\displaystyle Z=\frac{Y}{X}\),我们仍然应用分布函数的定义来求 \(Z\) 的分布。

例1,设 \((X,Y)\) 的联合密度为

\[f(x,y)=\begin{cases}e^{-(x+y)}, & x>0,y>0\\ 0,&\text{其它}\end{cases}\]

求 \(\displaystyle Z=\frac{Y}{X}\) 的概率密度。

解:当 \(z>0\) 时,

\begin{align*}F(z)&=P(Z\le z)=\iint_{\frac{y}{x}\le z}f(x,y)dxdy\end{align*}

因为 \(\displaystyle\frac{y}{x}=z\) 就是曲线 \(y=xz\),所以积分区域为 \(D=\{(x,y)|\frac{y}{x}\le z\}=\{(x,y)|0<x<\infty, 0<y\le xz\)。所以

\begin{align*}F(z)&=\iint_{\frac{y}{x}\le z}f(x,y)dxdy=\\ &=\int_0^{\infty}\int_0^{xz}e^{-(x+y)}dydx\\ &=\int_0^{\infty}e^{-x}(e^{-y})\Big|_0^{xz}dx\\ &=\int_0^{\infty}e^{-x}(1-e^{-xz})dx\\ &=-e^{-x}+\frac{1}{1+z}e^{-x(1+z)}\Big|_0^{\infty}\\ &=–\frac{1}{1+z}=\frac{z}{1+z}\end{align*}

当 \(z\le 0\) 时,\(F(z)=0\),因为 \(Z=\frac{X}{Y}\le z\)表示 \(X,Y\) 至少有一个小于或者等于 \(0\),从而 \(f(x,y)=0\)。

所以我们得到了 \(Z\) 的分布函数

\[F(z)=\begin{cases}\frac{z}{1+z},&z>0\\ 0,&z\le 0\end{cases}\]

求导,就得到了 \(Z\) 的概率密度,

\[f(z)=\begin{cases}\frac{1}{(1+z)^2}, &z>0\\ 0,&z\le 0\end{cases}\]