二维随机变量函数的分布:和的分布

我们利用随机变量的分布函数的定义来求随机变量函数的分布。我们首先从分布函数的定义出发,将随机变量函数的分布化成原随机变量的分布函数,从而求出随机变量函数的分布函数和概率密度。

笔记下载:二维随机变量函数的分布:和的分布

1,我们回顾一下,一维随机变量函数 \(Y=g(X)\) 的分布的求法,利用分布函数的定义

\[F_Y(y)=P(Y\le y)=P(g(X)\le y)\]

来求 \(Y\) 的分布函数。将上面右边的概率化成关于 \(X\) 的概率,从而得到 \(Y\) 的分布函数,通常是 \(X\) 的分布函数的一个复合函数。

对于二维随机变量来说,我们也是采用这种方式。对于离散型的随机变量,只需要将变量的值代入就能得到随机变量函数的分布律,这里我们不多讲了,我们只讲述连续型随机变量函数的分布的求法。

2,二维随机变量函数的分布:\(Z=g(X,Y)\),则

\[\F_Z(z)=P(Z\le z)=P(g(X,Y)\le z)]

这里我们先讨论和的分布的求法。

3,和的分布 \(Z=X+Y\):由连续型随机变量概率密度的性质,可以知道

\[F_Z(z)=P(Z\le z)=P(X+Y\le z)=\iint_{x+y\le z}f(x,y)dxdy\]

例1,设 \((X,Y)\) 的联合概率密度为

\[f(x,y)=\begin{cases}x+y,& 0<x<1, 0<y<1\\ 0,&\text{其它}\end{cases}\]

求 \(Z=X+Y\) 的概率密度。

解:可以看到,随机变量只在图中的正方形内取值

Rendered by QuickLaTeX.com

当 \(z\le 0\) 时,\(x+y\le z\le 0\),就意味着 \(x,y\) 至少有一个小于 \(0\),所以 \(f(x,y)=0\),\(\displaystyle F_Z(z)=\iint_{x+y\le z}f(x,y)dxdy=0\)。

当 \(0<z<1\) 时,这时候,\((X,Y)\) 只会落在在图形中的阴影区域,

Rendered by QuickLaTeX.com

由概率密度的性质,

\begin{align*}F_Z(z)&=\iint_{x+y\le z}f(x,y)dxdy\\ &=\int_0^z\int_0^{z-x}(x+y)dydx\\ &=\int_0^z\frac{1}{2}(x+y)^2\Big|_0^{z-x}\\ &=\int_0^z\frac{1}{2}(z^2-x^2)dx\\ &=\frac{1}{2}z^2x-\frac{1}{6}x^3\Big|_0^z\\ &=\frac{1}{3}z^3\end{align*}

当 \(1\le z\le 2\) 时,随机变量落在下图阴影部分区域,

Rendered by QuickLaTeX.com

我们可以用整个正方形部分的概率减去正方形右上角部分区域的概率,

\begin{align*}F_Z(z)&=1-\int_{z-1}^1\int_{z-x}^1(x+y)dydx\\ &=1-\int_{z-1}^1\frac{1}{2}(x+y)^2\Big|_{z-x}^1\\ &=1-\int_{z-1}^1\frac{1}{2}((x+1)^2-z^2)dx\\&=1-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}(x+1)^3-z^2x\right)\Big|_{z-1}^1\\ &=1-\frac{1}{2}\left(\frac{8}{3}-z^2-\frac{1}{3}z^3+z^3-z^2\right)\\ =&-\frac{1}{3}z^3+z^2-\frac{1}{3}\end{align*}

当 \(z>2\) 时,正方形全部在 \(x+y=z\) 的下方,所以 \(F_Z(z)=1\)。

Rendered by QuickLaTeX.com

总结起来,有

\[F_Z(z)=\begin{cases}0,&z\le 0\\ \frac{1}{3}z^3,&0<z<1\\ -\frac{1}{3}z^3+z^2-\frac{1}{3},& 1\le z\le 2\\ 1,&z>2\end{cases}\]