二维连续型随机变量

类似于一维的情形,我们可以定义二维连续型随机变量。如果二维随机变量的分布函数可以用一个非负可积函数的积分表示,那么这个二维随机变量就是连续型的。对于连续型随机变量,基本的问题是给出概率密度求分布函数以及变量落在某个区间的概率。另外,也可以由概率密度求未知常数,以及由分布函数求密度。

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1,如果二给随机变量 \((X,Y)\) 的取值 在一个区域,它们的联合分布函数为

\[F(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^yf(u,v)dvdu\]

称 \((X,Y)\) 为二维连续型随机变量,\(f(x,y)\) 称为 \((X,Y)\) 的联合概率密度。

2,概率密度的性质:

(1)\(f(x,y)\ge 0\);

(2)\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dydx=1\);

(3)\(\displaystyle\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial^2F(x,y)}{\partial x\partial y}=f(x,y)\);

(4)\(\displaystyle P((X,Y)\in D)=\iint_D f(x,y)dydx\),也就是说,随机变量落在某个区域的概率就是概率密度在这个区域上的积分。

例1,设 \((X,Y)\) 的联合概率密度为

\[f(x,y)=\begin{cases}2e^{-(2x+y)},& x,y\ge 0\\ 0,&\text{其它}\end{cases}\]

求(1)\((X,Y)\) 的联合分布函数;(2)\(P(Y\le X)\)。

解:(1)当 \(x<0\) 或者 \(y<0\) 时,\(f(x,y)=0\),所以 \(F(x,y)=0\)。

当 \(x\ge 0, y\ge 0\) 时 ,

\begin{align*}F(x,y)&=\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^yf(u,v)dvdu\\ &=\int_0^x\int_0^y2e^{-(2u+v)}dvdu=\int_0^x2e^{-2u}du\int_0^ye^{-v}dv\\ &=(-e^{-2u})\Big|_0^x\cdot(-e^{-v})\Big|_0^y\\ &=(1-e^{-2x})(1-e^{-y})\end{align*}

总结起来,有

\[F(x,y)=\begin{cases}(1-e^{-2x})(1-e^{-y}),& x,y\ge 0;\\ 0&\text{其它}\end{cases}\]

(2)在第一象限部分,积分区域可以写成 \(D:(x,y)| 0\le x\le \infty, 0\le y\le x\),其它的部分,因为 \(f(x,y)=0\),所以积分为 \(0\),

\begin{align*}P(Y\le X)&=\iint_{y\le x}f(x,y)dydx=\int_0^{\infty}\int_0^x2e^{-(2x+y)}dvdu\\ &=\int_0^{\infty}2e^{-2x}dx\int_0^xe^{-ydy}\\ &=\int_0^{\infty}2e^{-2x}(-e^{-y})\Big|_0^xdx\\ &=\int_0^{\infty}2e^{-2x}(1-e^{-x})dx=-e^{-2x}+\frac{2}{3}e^{-3x}\Big|_0^{\infty}\\ &=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\end{align*}

例2,设 \((X,Y)\) 的联合概率密度为

\[f(x,y)=\begin{cases}A,& x^2+y^2\le R^2\\ 0,&\text{其它}\end{cases}\]

求(1)常数 \(A\);(2)\((X,Y)\) 落入以原点为圆心, 半径为 \(r, r<R\) 的 区域内的概率。

解:(1)因为 \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dydx=1\),采用极坐标

\begin{align*}1&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dydx\\ &=\iint_{x^2+y^2\le R^2}Adxdy=\int_0^{2\pi}\int_0^RA\rho d\rho d\theta\\ &=A\int_0^{2\pi}\frac{\rho ^2}{2}\Big|_0^Rd\theta=\frac{\rho^2}{2}A\theta\Big|_0^{2\pi}\\ &=\pi R^2A\end{align*}

所以 \(A=\frac{1}{\pi R^2}\)。

(2)\begin{align*}P(X^2+Y^2\le r^2)&=\iint_{x^2+y^2\le r^2}f(x,y)dxdy\\ &=\frac{1}{\pi R^2}\int_0^{2\pi}\int_0^rrdrd\theta\\ &=\frac{1}{\pi R^2}\cdot\pi r^2=\frac{r^2}{R^2}\end{align*}