随机试验与随机事件

这一节我们叙述概率论里面的一些基本概念。如随机试验,随机事件等等。

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1,随机现象:不确定能不能发生的现象,但是有一定规律性。

2,随机试验:随机试验就是满足这些条件的试验:

  • 试验可重复进行;
  • 试验的结果不止一个,但知道所有可能的结果;
  • 试验之前,不知道结果。

3,样本空间:就是随机试验所有可能的结果,一般记为 \(\Omega\)。每一个可能的结果称为样本点。

4,随机事件:满足某个条件的样本点的集合称为随机事件,我们一般用大写字母 \(A,B,C,\cdots\) 来表示随机事件。随机事件是样本空间的子集。

(1)基本事件:单个样本点就是一个基本事件;

(2)不可能事件:不可能发生的事件,记为 \(\varnothing\);

(3)必然事件:每次试验都发生的事件,称为必然事件。必然事件就是样本空间本身。

5,事件的运算:事件的运算与集合的运算是一致的,因为事件就是样本空间中的集合。设 \(A,B

(1)包含:\(A\subset B\),\(B\) 包含 \(A\),或者 \(A\) 含于 \(B\),它是指 \(A\) 发生,则 \(B\) 一定发生;

(2)相等:\(A=B\quad\Rightarrow\quad A\subset B \) 并且 \(B\subset A\);

(3)事件的并:\(A\cup B=\{x|x\in A \text{或者}x\in B\}\),有时候也记为 \(A+B\),表示 \(A\) 或者 \(B\) 至少有一个发生;

(4)事件的交: \(A\cap B=\{x|x\in A\text{并且}x\in B\}\),表示 \(A\) 和 \(B\) 都发生;

(5)差事件:\(A-B=\{x| x\in A, x\not\in B\}\),表示 \(A\) 发生,但 \(B\) 不发生;

(6)对立事件(逆事件):\(\bar{A}=\{x|x\not\in A\}\),表示 \(A\) 不发生;

(7)不相容事件:若 \(A\cap B=\varnothing\),称 \(A\) 与 \(B\) 不相容,就是它们两个不可能同时发生。

6,事件的运算规律:

  • \(A\cup B=B\cup A\);
  • \(A\cap B=B\cap A\);
  • \((A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)\);
  • \((A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)\);
  • \((A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup(B\cap C)\);
  • \((A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap(B\cup C)\);
  • 德摩根定律:\(\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap \bar{B}, \overline{A\cap B}=\bar{A}\cup \bar{B}\)