随机事件的独立性

1,独立性:如果一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率,也就是说 \(P(B)=P(B|A)\), 我们说事件 \(B\) 与事件 \(A\) 独立。

2,事实上,我们可以用两个事件的概率来定义两个事件的独立性。即如果

\[P(AB)=P(A)P(B)\]

也就是说,交事件的概率等于各自的概率之积,则我们称事件 \(A\) 与 \(B\) 独立。

笔记下载:独立性

这是因为若 \(P(B|A)=P(B)\),那么 \(P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)\)。所以公式 \[P(AB)=P(A)P(B)\]就是两个随机相互独立的条件。

例1,袋中有 \(6\) 个红球,\(4\) 个白球,设 \(A:\)“第一次取到白球”,\(B:\)“第二次取到白球”,分放回和不放回抽取两次,求 \(P(B)\)。

解:(1)放回,

\begin{align*}P(B)&=P(A)P(B|A)+P(\bar{A})P(B|\bar{A})\\ &=\frac{4}{10}\cdot\frac{4}{10}+\frac{6}{10}\frac{4}{10}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\end{align*}

因为\(P(A)=\frac{2}{5}, P(AB)=P(A)P(B|A)=\frac{2}{5}\frac{2}{5}=\frac{4}{25}=P(A)P(B)\),所以 \(A\) 与 \(B\) 相互独立。

(2)不放回,

\begin{align*}P(B)&=P(A)P(B|A)+P(\bar{A})P(B|\bar{A})\\ &=\frac{4}{10}\cdot\frac{3}{9}+\frac{6}{10}\frac{4}{9}=\frac{6}{45}+\frac{12}{45}\\ &=\frac{18}{45}=\frac{2}{5}\end{align*}

但是,\[P(AB)=P(A)P(B|A)=\frac{4}{10}\cdot\frac{3}{9}=\frac{6}{45}=\frac{3}{15}\ne P(A)P(B)\]所以 \(A\) 与 \(B\) 不独立。

例2,从 \(52\) 张扑克牌里(去掉大、小王)取一张,设 \(A:\)“取到黑桃”,\(B:\)“取到K”,那么

\[P(A)=\frac{1}{4}, P(B)=\frac{1}{13}, P(AB)=\frac{1}{52},P(A)P(B)=\frac{1}{52}=P(AB)\]

所以 \(A\) 与 \(B\) 独立。

3,\(3\) 个以上事件的独立性:

(1)\(A,B,C\) 相互独立 \(\Longleftrightarrow P(ABC)=P(A)P(B)P(C)\) ;

(2)\(A_1,A_2,\cdots,A_n\)相互独立 \(\Longleftrightarrow P(A_1A_2\cdots A_n)=P(A_1)P(A_2)\cdots P(A_n)\) 。

4,定理:若 \(A\) 与 \(B\) 独立\(\Longleftrightarrow\) \(A\) 与 \(\bar{B}\),\(\bar{A}\) 与 \(B\),\(\bar{A}\) 与 \(\bar{B}\) 也相互独立。

证明:若 \(A\) 与 \(B\) 独立,则 \(P(A,B)=P(A)P(B)\),而

\[P(A)=P(AB)+P(A\bar{B})=P(A)P(B)+P(A\bar{B})\]

而 \begin{align*}P(A\bar{B})&=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)\\ &=P(A)(1-P(B))=P(A)P(\bar{B})\end{align*}

所以 \(A\) 与 \(\bar{B}\) 独立。其它几个证明类似。